Обе части неравенства неотрицательны, можно возвести в квадрат. Сделаем это, по пути заметив, что нет разницы, что возводить в квадрат, число или его модуль:
Переносим квадраты в одну часть и раскладываем разность квадратов: (x^2 - x + 1)^2 - (x^2 - 3x + 4)^2 ≥ 0 ((x^2 - x + 1) - (x^2 - 3x + 4))((x^2 - x + 1) + (x^2 - 3x + 4)) ≥ 0 (x^2 - x + 1 - x^2 + 3x - 4)(x^2 - x + 1 + x^2 - 3x + 4) ≥ 0 (2x - 3)(2x^2 - 4x + 5) ≥ 0
Вторая скобка не имеет корней, так как дискриминант квадратного трехчлена отрицательный: D = 16 - 40 = -24. Поскольку перед x^2 стоит положительное число, вторая скобка принимает только положительные значения, на неё можно разделить.
Необходимо начертить единичную окружность и заставить точку "бегать" по окружности: 3П - это 1,5 круга, соответствует углу 180 градусам. Точка будет иметь координаты (-1,0). По определению sin и cos это и есть их значения: sin3П=0, cos3П=-1. Аналогично: sin 4п=0, сos4П =1 sin3,5п=1, сos3,5П=0; sin5/2П=1, cos 5/2П=0 sinПк=0 сosПк=1 (если к -четное ) и cosПк =-1 если к- нечетное число (2к+1) - это формула нечетного числа, к примеру 3, 5, 7, 9 и т.д. Следовательно, sin(2к+1)П=0, cos(2к+1)П =-1..
|x^2 - x + 1| ≥ |x^2 - 3x + 4|
(x^2 - x + 1)^2 ≥ (x^2 - 3x + 4)^2
Переносим квадраты в одну часть и раскладываем разность квадратов:
(x^2 - x + 1)^2 - (x^2 - 3x + 4)^2 ≥ 0
((x^2 - x + 1) - (x^2 - 3x + 4))((x^2 - x + 1) + (x^2 - 3x + 4)) ≥ 0
(x^2 - x + 1 - x^2 + 3x - 4)(x^2 - x + 1 + x^2 - 3x + 4) ≥ 0
(2x - 3)(2x^2 - 4x + 5) ≥ 0
Вторая скобка не имеет корней, так как дискриминант квадратного трехчлена отрицательный: D = 16 - 40 = -24. Поскольку перед x^2 стоит положительное число, вторая скобка принимает только положительные значения, на неё можно разделить.
2x - 3 ≥ 0
2x ≥ 3
x ≥ 3/2
ответ. x ≥ 3/2