Алгебра: Разложите на множители a) ax²-ay² b) -x²-10x-25 в)a^{4} b²-b^{4} a²

1) Разрешим наше дифференциальное уравнение относительно производной - уравнение с разделяющимися переменными Воспользуемся определением дифференциала Интегрируя обе части уравнения, получаем - общее решение Разделяем переменные интегрируя обе части уравнения, получаем - общий интеграл Решение задачи Коши нет, т.к. при х=0 логарифм ln0 не существует Пример 3. Убедимся, является ли дифференциальное уравнение однородным. Итак, дифференциальное уравнение является однородным. Исходное уравнение будет...

Разложите на множители a) ax²-ay² b) -x²-10x-25 в)a^{4} b²-b^{4} a²

👇

Увидеть ответ

Ответ:

котик957

21.04.2021

A) ax²-ay²=a(x²-y²)=a(x-y)(x+y);
б)
-x²-10x-25,
D=100-100=0,
x= $\frac{10}{-2} =-5$ ;
-x²-10x-25=-(x+5)(x+5) по формуле разложения квадратного трехчлена;
в) $a^{4} b^{2} - b^{4} a^{2} =$ a²b²(a²-b²)=a²b²(a-b)(a+b).

4,8(18 оценок)

Ответ:

DashaTopjfnfvv

21.04.2021

Решение:
а) ах² - ау² = а·(х² - у²) = а(х - у)(х + у);
б) - х² -10х - 25 = - (х² + 10х + 25) = - (х² + 2·х·5 + 5²) = - (х + 5)² ;
в) $a^{4} b^{2} - b^{4} a^{2} = a^{2} b^{2} *( a^{2} - b^{2} ) = a^{2} b^{2} ( a-b)(a+b)$

4,6(100 оценок)

Открыть все ответы

Ответ:

drewetova

21.04.2021

0<x<4/3

Объяснение:

числитель является положительным (это число 7, от x не завист)

надо найти значения x, при которых знаменатель положителен:

4 × x - 3 × x**2 > 0

4 × x - 3 × x**2 = x × (4 - 3×x)

рассмотрим 2 случая:

1. Оба положительные ( и x, и (4 - 3×x)): одновременно должно выполняться:

x > 0 и 4 - 3 × x > 0

x > 0 и -3×x > -4

x > 0 и x < 4/3

в этом случае решение существует. А именно,

0<x<4/3

2. Оба отрицательные: одновременно должно выполняться:

x < 0 и 4 - 3×x < 0

x < 0 и -3 × x < - 4

x< 0 и x> 4/3

в этом случае решения не существует.

Оставляем первый случай.

4,8(70 оценок)

Ответ:

samo345

21.04.2021

Разрешим наше дифференциальное уравнение относительно производной
$y'=- \dfrac{y}{x}$ - уравнение с разделяющимися переменными
Воспользуемся определением дифференциала
$\dfrac{dy}{dx} =- \dfrac{y}{x} \\ \\ \dfrac{dy}{y} =- \dfrac{dx}{x}$
Интегрируя обе части уравнения, получаем
$\ln|y|=\ln| \frac{1}{x} |+\ln C\\ \\ \ln|y|=\ln| \frac{C}{x}|$
$y= \dfrac{C}{x}$ - общее решение

$(1-x^2) \frac{dx}{dy} +xy=0\\ \\ (1-x^2) \frac{dx}{dy} =-xy$
Разделяем переменные
$\dfrac{(x^2-1)dx}{x} = ydy$

интегрируя обе части уравнения, получаем

$-\ln|x|+ \dfrac{x^2}{2} = \dfrac{y^2}{2} +C$ - общий интеграл

Решение задачи Коши нет, т.к. при х=0 логарифм ln0 не существует

Пример 3. $x^2+y^2-2xy\cdot y'=0$
Убедимся, является ли дифференциальное уравнение однородным.
$(\lambda x)^2+(\lambda y)^2-2\cdot\lambda x\cdot \lambda y\cdot y'=0 |:\lambda^2\\ \\ x^2+y^2-2xyy'=0$

Итак, дифференциальное уравнение является однородным.
Исходное уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными если сделаем замену
y=ux

, тогда

Подставляем в исходное уравнение

$x^2+u^2x^2-2x\cdot ux(u'x+u)=0\\ \\ x^2(1+u^2-2uu'x-2u^2)=0\\ \\ x=0\\ \\ 1-u^2-2uu'x=0\\ \\ u'= \dfrac{1-u^2}{2ux}$

Получили уравнение с разделяющимися переменными

Воспользуемся определением дифференциала

$\dfrac{du}{dx} =\dfrac{1-u^2}{2ux}$

Разделяем переменные

$\dfrac{du^2}{1-u^2} = \dfrac{dx}{x}$

Интегрируя обе части уравнения, получаем

$\ln\bigg| \dfrac{1}{1-u^2} \bigg|=\ln|Cx|$

$\dfrac{1}{1-u^2} =Cx$

Обратная замена

$\dfrac{x^2}{x^2-y^2} =Cx$ - общий интеграл

Пример 4. y''-4y'+4=0

Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами также однородное.
Воспользуемся методом Эйлера
Пусть $y'=e^{kx}$ , тогда будем иметь характеристическое уравнение следующего вида:
$k^2-4k+4=0\\ (k-2)^2=0\\ k_{1,2}=2$

Тогда общее решение будет иметь вид:

$y=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}$ - общее решение

Пример 5. y''+4y'-5y=0

Аналогично с примером 4)
Пусть $y=e^{kx}$ , тогда получаем
$k^2+4k-5=0\\ (k+2)^2-9=0\\ \\ k+2=\pm 3\\ k_1=1\\ k_2=-5$

Общее решение: $y=C_1e^{x}+C_2e^{-5x}$

Найдем производную функции
$y'=C_1e^x-5C_2e^{-5x}$

Подставим начальные условия

$\displaystyle \left \{ {{4=C_1+C_2} \atop {2=C_1-5C_2}} \right. \to \left \{ {{C_1=4-C_2} \atop {2=4-C_2-5C_2}} \right. \to \left \{ {{C_1= \frac{11}{3} } \atop {C_2=\frac{1}{3} }} \right.$

$y=\frac{11}{3} e^x+\frac{1}{3} e^{-5x}$ - частное решение