Совокупность всех первообразных F(x) + C функции f(x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается ∫f(x)dx, где f(x) — подынтегральная функция, f(x)dx — подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.
Найти неопределенный интеграл:
1. ∫(x2 + x – 1)dx.
2014-10-28_094604
2. ∫ (sinx – 3cosx)dx.
A) cosx-3sinx+C; B) –cosx+3sinx+C; C) -cosx-3sinx+C; D) cosx+3sinx+C; E) -cosx-sinx.
2014-10-28_094830
A) tgx-ctgx+C; B) tgx+ctgx+C; C) ctgx-tgx+C; D) tg2x+ctg2x+C; E) tg2x-ctg2x+C.
1) а) F'(x)=3*x^2+8*x-5+0 Так как (x^3)'=3*x^2, (x^2)'=2*x, (x)'=1, (C)'=0, то F'(x)=f(x) б) F'(x)=3*4*x^3-1/x=12*x^3-1/x Так как (x^4)'=4*x^3, (ln x)'=1/x, то F'(x)=f(x) 2) a) F(x)=-x^(-2)+sin x, (x^(-2))'=-2*x^(-2-1)=-2*x^-3=-2/x^3, (sin x)'=cos x и f(x)=2/x^3+cos x След. F'(x)=f(x) б) F(x)=3*e^x Так как (3*e^x)'=3*(e^x)'=3*e^x и f(x)=3*e^x, то F'(x)=f(x) 3) F(x)=x^3+2x^2+C, т. к. (x^3)'=3x^2 (2x^2)'=2*2x=4x C'=0 1. f(x)=3x^2+4x След. , F'(x)=f(x) 2. Т. к. график первообразной проходит через A(1;5), то 5=1^3+2*1+C - верное равенство 5=3+С С=2 ответ: F(x)=x^3+2x^2+2 4) у=x^2 у=9 x^2=9 х1=-3 х2=3 Границы интегрирования: -3 и 3 Чертим на коорд. пл. графики функ. у=x^2 и у=9, опускаем проекции из точек пересеч. графиков на ось х Полученный прямоугольник обозначаем как ABCD, площадь которого равна 9*(3+3)=54 S (OCD)= ∫ от 0 до 3 x^2 dx = 1/3*3^3-1/3*0=9 Т. к. S (ABO) = S (OCD), то S(иск) =54-2*9=36 В пятом условии для решения не хватает функции, график которой бы "замыкал" указанные параболы на коор. плоскости.
4-x²<1,5x-x²+3-2x
4<1,5x+3-2x
4<-0,5x+3
0,5x<3-4
0,5x<-1
x<-2
2. 0,2x-x/4≤1/3*0,2-1/4*1/3
1/5x-x/4≤1/3×1/5-1/4×1/3
-x/20≤1/15-1/12
-x/20≤1/60
x=(знак больше и равно)1/3
3. 0,3x-x/3>1/2*0,3-1/3*1/2
3/10x-x/3>0,15-1/3×1/2
-x/30>3/20-1/6
-x/30>-1/60
x<1/2