Question

Найдите, в какой точке графика функции [tex]y = \frac{x\sqrt{3}}{3} + x^{3}[tex] касательная наклонена к оси абсцисс под углом [tex]\alpha = \frac{\pi}{6} [tex]

Answer 1

Значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. В свою очередь тангенс угла наклона прямой к оси ox равен угловому коэффициенту.
f'(x0)=k=tg(a)
находим производную данной функции:
$y'=\frac{1}{\sqrt{3}}+3x^2$
пусть x координата искомой точки будет b, тогда:
$y'(b)=\frac{1}{\sqrt{3}}+3b^2$
нам известен угол наклона, значит:
$tg(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{\sqrt{3}}=y'(b)=\frac{1}{\sqrt{3}}+3b^2$
решим уравнение:
$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}+3b^2 \\3b^2=0 \\b=0$
найдем y- координату точки: y(0)=0
значит в точке (0;0) касательная составляет с графиком данной функции угол в $\frac{\pi}{6}$
ответ: (0;0)