Question

Решить вычислите сумму 1⋅3/1+ 3⋅5/1 +…+ 123⋅125/1. если ответом в является нецелое число, то напишите его десятичную запись, разделив целую и дробную часть точкой (например,1.2).

Answer 1

$1\cdot 3+3\cdot 5+\ldots +123\cdot 125= \sum\limits_{k=1}^{62}(2k-1)(2k+1)=4\sum\limits_{k=1}^{62}k^2-\sum\limits_{k=1}^{62}1=$

$=4\frac{62(62+1)(2\cdot 62+1)}{6}-62=2\cdot62\cdot 21\cdot 125-62=325438$

ответ: 325438

Answer 2

Для решения этой задачи мы должны вычислить сумму ряда, в котором каждый элемент представляет собой результат умножения двух чисел, разделенных знаком "/".

Ряд состоит из следующих элементов: 1⋅3/1, 3⋅5/1, и так далее до 123⋅125/1.

Для начала посмотрим на структуру ряда. Мы видим, что в числителя каждого элемента стоит произведение двух последовательных чисел, а в знаменателе всегда стоит 1. Таким образом, каждый элемент можно записать в виде (a⋅(a+2))/1, где a - первое число каждого элемента ряда.

Теперь мы можем решить задачу шаг за шагом, применяя формулу для суммы арифметической прогрессии:

S = (n/2)⋅(a1+an),

где S - сумма прогрессии, n - количество элементов прогрессии, a1 - первый элемент прогрессии, an - последний элемент прогрессии.

Для определения n и an нам понадобится найти рекуррентные формулы для a и an.

Рекуррентная формула для a:
a = 1 + (n-1)⋅2,
где n - номер элемента.

Рекуррентная формула для an:
an = a1 + (n-1)⋅d,
где d - разность между элементами прогрессии.

Подставим данные в формулы:

a1 = 1,
d = 2,
an = 123 + (n-1)⋅2.

Теперь можем найти n:

an = 123 + (n-1)⋅2,
an = 123 + 2n - 2,
2n = 125,
n = 125/2,
n = 62.5.

Так как число элементов прогрессии должно быть целым числом, мы округляем n вниз до 62.

Используя рекуррентную формулу для a, найдем первый элемент:

a1 = 1 + (n-1)⋅2,
a1 = 1 + (62-1)⋅2,
a1 = 1 + 61⋅2,
a1 = 1 + 122,
a1 = 123.

Теперь мы готовы найти сумму ряда:

S = (n/2)⋅(a1+an),
S = (62/2)⋅(123+(123+122)),
S = 31⋅(123+245),
S = 31⋅368,
S = 11408.

Ответ: сумма ряда равна 11408.