Відповідь:
Пусть АВС- прямоугольный треугольник, катеты АВ = 36 см, АС = 48 см, ВС - гипотенуза.
Пусть D - точка на гипотенузе ВС. DE - отрезок, параллельный катету АВ (точка Е на стороне АС) , DF - отрезок, параллельный катету АС (точка F на стороне АВ) .
Нужно найти точку D, чтобы S - площадь прямоугольника AFDE была наибольшей.
Обозначим ЕС через Х, DE через Y.
Треугольники АВС и EDC подобны, Y/X = DE/EC = AB/AC = 36/48 = 3/4, то есть Y = (3/4)*X.
S = (48 - X)*Y = (48 - X)*(3/4)*X = (3/4)*(48*X - X^2) = (3/4)*(24^2 - 24^2 + 2*24*X - X^2) = (3/4)*(24^2 - (24 - X)^2).
Максимальное значение площадь прямоугольника достигает при Х = 24 см, то есть ЕС - половина катета АС.
Из подобия треугольников АВС и EDC следует, что отрезок DC - половина сгипотенузы ВС.
Точка D, при которой площадь прямоугольника AFDE наибольшая, середина гиптенузы ВС.
Пояснення:
1) (a - b)² = a² - 2ab + b²
(2х - 1)² = 16
(2х)² - 2 · 2х · (-1) + (-1)² = 16
4х² + 4х + 1 - 16 = 0
4х² + 4х - 15 = 0
D = b² - 4ac = 4² - 4 · 4 · (-15) = 16 + 240 = 256
√D = √256 = 16
х₁ = (-4-16)/(2·4) = (-20)/8 = -2,5
х₂ = (-4+16)/(2·4) = 12/8 = 1,5
ответ: (-2,5; 1,5).
3) (a + b)² = a² + 2ab + b²
25 - (5х + 1)² = 0
25 - ((5х)² + 2 · 5х · 1 + 1²) = 0
25 - (25х² + 10х + 1) = 0
25 - 25х² - 10х - 1 = 0 (умножим обе части уравнения на (-1))
25х² + 10х + 1 - 25 = 0
25х² + 10х - 24 = 0
D = b² - 4ac = 10² - 4 · 25 · (-24) = 100 + 2400 = 2500
√D = √2500 = 50
х₁ = (-10-50)/(2·25) = (-60)/50 = -1,2
х₂ = (-10+50)/(2·25) = 40/50 = 0,8
ответ: (-1,2; 0,8).