1) Пусть задача поставлена для функции y=ctg(2x)+sin(x). ctg(2x) имеет множество значений (-inf;+inf). ctg(2x)+sin(x) тоже имеет множество значений (-inf;+inf). Поэтому прямая y=3-p имеет хотя бы одну общую точку с y=ctg(2x)+sin(x) при любых значениях p. ответ: при любых значениях p. 2) Пусть задача поставлена для функции y=ctg²(x)+sin(x). y=cos²(x)/sin²(x)+sin(x)=(1-sin²(x))/sin²(x)+sin(x)=1/sin²(x)+sin(x)-1 Требуется определить множество значений этой функции. Пусть sin(x) = t. Тогда y(x)=f(t)=1/t²+t-1. Наибольшее и наименьшее значения будем искать на отрезке t∈[-1;1], так как t=sin(x). f'(t)=-2/t³+1=(t³-2)/t³. Нули числителя: t=∛2 Нули знаменателя: t=0. Расположим эти точки на числовой прямой. f'>0 f'>0 f'<0 f'<0 f'>0 -1 0 1 ∛2 > f ↑ ↑ ↓ ↓ ↑ На отрезке [-1;1] функция возрастает с -1 до 0-. Затем с 0+ до 1 убывает. Это значит, что наименьшее значение на отрезке [-1;1] достигается на одном из его концов. То есть min(f(-1),f(1))=min(1/(-1)²-1-1, 1/1²+1-1)=-1. При стремлении t к 0- и к 0+ функция f(t) принимает сколь угодно большие значения. Поэтому множество значений функции f(t) и y(x) равно [-1;+inf). y=3-p - горизонтальная прямая. Она имеет общую точку с графиком функции y(x)=1/sin²(x)+sin(x)-1, если пересекает множество значений y(x). Таким образом, 3-p>=-1, p<=4. ответ: при p<=4.
Графически это выглядит следующим образом (см. вложение). Нам нужна площадь области, выделенной красным цветом (честно говоря, полчаса соображал, как это сделать в программе, чтобы она меня поняла)).
Алгоритм такой: 0. Обе параболы поднимаются на 1 единицу вверх, чтобы мы могли вычислить определённый интеграл (он ограничен осью x). Площадь фигуры при этом не изменится, так что всё нормально. 1. Вычисляется площадь фигуры под ; 2. Теперь — под ; 3. Разность площадей и будет искомой фигурой.
По дороге ещё придётся найти нули функции, т. к. для определённого интеграла нужна область вычисления.
Поехали.
1)
2)
3) (кв. ед.)
Вроде бы так... :) Попробую сейчас проверить решение.
;
;
и будет искомой фигурой.
(кв. ед.)
ctg(2x) имеет множество значений (-inf;+inf). ctg(2x)+sin(x) тоже имеет множество значений (-inf;+inf). Поэтому прямая y=3-p имеет хотя бы одну общую точку с y=ctg(2x)+sin(x) при любых значениях p.
ответ: при любых значениях p.
2) Пусть задача поставлена для функции y=ctg²(x)+sin(x).
y=cos²(x)/sin²(x)+sin(x)=(1-sin²(x))/sin²(x)+sin(x)=1/sin²(x)+sin(x)-1
Требуется определить множество значений этой функции. Пусть sin(x) = t. Тогда y(x)=f(t)=1/t²+t-1. Наибольшее и наименьшее значения будем искать на отрезке t∈[-1;1], так как t=sin(x).
f'(t)=-2/t³+1=(t³-2)/t³.
Нули числителя: t=∛2
Нули знаменателя: t=0.
Расположим эти точки на числовой прямой.
f'>0 f'>0 f'<0 f'<0 f'>0
-1 0 1 ∛2 >
f ↑ ↑ ↓ ↓ ↑
На отрезке [-1;1] функция возрастает с -1 до 0-. Затем с 0+ до 1 убывает. Это значит, что наименьшее значение на отрезке [-1;1] достигается на одном из его концов. То есть min(f(-1),f(1))=min(1/(-1)²-1-1, 1/1²+1-1)=-1.
При стремлении t к 0- и к 0+ функция f(t) принимает сколь угодно большие значения. Поэтому множество значений функции f(t) и y(x) равно [-1;+inf).
y=3-p - горизонтальная прямая. Она имеет общую точку с графиком функции y(x)=1/sin²(x)+sin(x)-1, если пересекает множество значений y(x). Таким образом, 3-p>=-1, p<=4.
ответ: при p<=4.