Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке ​

Answer 1

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

y = x/2 + cos(x),   x ∈ [0;π].

Найдем производную данной функции

$y'=(\frac{x}{2}+\cos x)'=(\frac{x}{2})'+(\cos x)'=\frac{1}{2}-\sin x$

И приравняем ее к нулю.

$\frac{1}{2}-\sin x=0\\ \\ \sin x=\frac{1}{2}\\ \\ x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{6}+\pi k,k \in \mathbb{Z}$

Корни удовлетворяющие отрезку [0;π/6] : π/6 и 5π/6

Найдем наименьшее и наибольшее значение функции на концах отрезка.

$y(0)=\frac{0}{2}+\cos 0=1\\ y(\frac{\pi}{6})=\frac{\pi}{12}+\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}\\ y(\frac{5\pi}{6})=\frac{5\pi}{12}+\cos\frac{5\pi}{6}=\frac{5\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ y(\pi)=\frac{\pi}{2}+\cos \pi=\frac{\pi}{2}-1$

Наибольшее значение функции равно $\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}$, а наименьшее $\frac{5\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{2}$