Натуральные числа разбиваются на два непересекающихся множества вида 2m и 2m+1, где m - натуральное. а) (2m)^2 + 2m + 1 = 4m^2 + 2m + 1 = 2(2m^2+m) + 1, где 2m^2+m натуральное (в силу того, что произведение и сумма натуральных числе всегда натуральна), будет нечётным. (2m+1)^2 + (2m+1) + 1 = 4m^2 + 4m + 1 + 2m + 1 + 1 = 4m^2 + 6m + 2 + 1 = 2(2m^2 + 3m + 1) + 1, где 2m^2 + 3m + 1 натуральное, будет нечётным.
b) Квадрат чётного числа - чётный. Потому число n^2 + n + 1 не может быть квадратом чётного числа. Покажем, что число не может быть и квадратом нечётного числа: n^2 + n + 1 = n^2 + 2n + 1 - n = (n+1)^2 - n Т.е. число n^2 + n + 1 отличается от квадрата (n + 1)^2 на n единиц. Может ли такое число быть квадратом? (n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 > n Не может.
Цельная и стройная запись решения: n^2 < n^2 + n + 1 = (n + 1)^2 - n < (n + 1)^2 Т.к. число n^2 + n + 1 лежит между двумя квадратами последовательных натуральных чисел, само оно не может быть квадратом натурального числа.
Найдём координаты вершины (x₀ , y₀)
x₀= -b/(2a) = -10/2= -5
y₀ =(-5)²+10(-5)+30 = 25-50+30=5
координаты вершины (-5; 5)
найдём точки пересечения с осью OX
D=10²-4*30=100-120= -20 ->пересечений нет
найдем координаты нескольких точек, подставляя х в уравнение
x=0, f(0) = 0+0+30 = 30
x=-4, f(-4) = (-4)²-40+30 =16-10=6
x=-5, f(-5) = 5 (вершина)
x=-6, f(-6) = (-6)²-60+30 = 36-30=6
x=-10, f(-10) = (-10)²-100+30=30
x -10 -6 -5 -4 0
y 30 6 5 6 30