Question

Дана точка а на прямой у=4 и эта точка лежит на канонической параболе. расстояние от касательной к параболе в точке а находится на расстоянии корень из 8 от фокуса параболы.1)найти уравнение параболы. 2) окружность с центром на оси х касается параболы в точке а. найти уравнение окружности?

Answer 1

1)
Каноническое уравнение параболы $y^2=2px$ ее фокус находится в точке с координатами $F ( \frac{p}{2},0)$ 
Координата точки $A$ находиться в системе уравнения 
$\left \{ {{y^2=2px} \atop {y=4}} \right. \\ x = \frac{8}{p} \\ A(\frac{8}{p},4)$   Если уравнение касательной равна $y=kx+b$ с учетом того что она проходит через точку $A$ получаем $k= \frac{p(4-b)}{8}\\$ , подставляя  $y=kx+b = \frac{p(4-b)x+8b}{8} \\ y^2=2px \\ (\frac{p(4-b)x+8b}{8})^2 = 2px \\ (p(4-b)x+8b)^2=128px \\ p^2(4-b)^2x^2+(16bp(4-b)-128p)x+64b^2=0 \\ D=0 \\ (16bp(4-b)-128p)^2-4p^2(4-b)^264b^2 = 4096(b-2)^2p^2=0\\ b=2\\ k = \frac{p}{4}\\ y = \frac{px}{4}+2$ 
 
То есть касательная будет иметь вид $y = \frac{px}{4}+2$ 
  Положим что перпендикуляр к касательной имеет вид $y= - \frac{4}{p}x+C \\$  он проходит через точку 
$F( \frac{p}{2},0)\\ -\frac{4}{p} \cdot \frac{p}{2}+C = 0 \\ C=2\\ y=-\frac{4x}{p}+2\\ \\ \left \{ {{y= \frac{px}{4}+2} \atop { y= -\frac{4x}{p}+2}} \right. \\ \left \{ {{x=0} \atop {y=2}} \right.$ 
 По условию расстояние от точки с координатами 
 $BF=\sqrt{8} \\ B(0,2) \\ F(\frac{p}{2},0) \\ \frac{p^2}{4} + 2^2 = 8 \\ p=\pm 4$ 
 Координата точки $A(2,4)$
 Значит парабола имеет вид $y^2 = 8x$ 
 2) 
 $(a,0)$ центр окружности (так как центр лежит на оси  $OX$)    
  Получаем систему уравнения     
 $\left \{ {{(x-a)^2+y^2=(a-2)^2+16\\ } \atop {y^2=8x}} \right. \\\\$ 
 Которая должна иметь одно решение, получаем 
$x^2+x(8-2a)+4a-20=0\\ (8-2a)^2-4(4a-20)=0 \\ 4a^2-48a+144=0 \\ 4(a-6)^2=0 \\ a=6$ 
 Получаем уравнение  окружности 
   $(x-6)^2+y^2=\sqrt{32}^2$