task/30344691 решить систему : { x/y - y/x= 5/6; x²-y²=5.
решение : { x/y - y/x= 5/6 ; x²-y²=5. || ОДЗ: x ≠0 ; y ≠0 || ⇔
{ (x²-y²)/xy =5/6;x²-y²=5.⇔{ 5/xy =5/6; x²-y²=5.⇔{ xy=6 ; x²-y²=5. ⇔
{ y=6/x; x²- (6/x)²= 5. (x²)² - 5x²- 36= 0 . ⇔ [ x² = - 4 ; x²= 9 .
* * * x² = - 4 не имеет действительных решений x₃= -2i ; x₄ =2i * * *
* * * y₃ = 6/x₃ = 6/(-2i) = 3i ; y₄/x₄ = 6/2i = - 3i * * *
x²= 9 ⇒ x₁ = -3 ;x₂= 3
y₁ = 6/x₁ =6/(-3) = -2 , y₂= 6/x₂= 6/3 = 2 .
ответ: (-3 ; -2) , (3 ; 2) . * * * (-2i ; 3i) ; (2i ; -3i) * * *
Утверждение верно при положительных переменных.
Раскрыв скобки, мы обнаружим члены:
abcd+1 =2
ad+ac+ab+cd+cb+db. больше либо равно 6
abc+abd+adc+bdc+d+c+a больше либо равно 8.
Просуммировав получим требуемое неравенство.
Утверждения про больше либо равно 6 и 8 доказываются на основе известного неравенства при х больше 0 (х+1/х) больше либо равно 2 (доказывается элементарно : обе части умножаются на х и получается (х-1) в квадрате больше либо равна 0)
Чтобы свести задачу к этому неравенству, группируем суммы:
(abc+d)+(abd+c)+(adc+b)+(bdc+a) больше либо равно 8
и (ad+св)+(ac+db)+(ab+cd) больше либо равно 6.
Равенство достигается, очевидно, когда все переменные равны 1.
