Свойства неравенств:
1. Если к обеим частям верного неравенства прибавить (отнять) одно и тоже число, то получится верное неравенство.
2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства останется прежним; если же - на отрицательное, то знак неравенства изменится на противоположный.
3. Неравенства одного знака можно складывать.
4. Неравенства одного знака можно умножать, если их левые и правые части положительны.
№ 1. 4 < а < 9 и 3 < b < 8.
1) 4 < а < 9 2) 4 < а < 9 3) 3 < b < 8
3 < b < 8 3 < b < 8 -9 < -a < -4
7 < a + b < 17 12 < ab < 72 -6 < b - a < 4
4) 16 < 4a < 36 5) 12 < 3a < 27
9 < 3b < 24 -32 < -4b < -12
25 < 4a + 3b < 60 -20 < 3a - 4b < 15
№ 2. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований,
т.е. с = (a + b)/2.
10 < а < 14
9 < b < 16
19 < a + b < 30
9,5 < (a + b)/2 < 15
9,5 < c < 15
1)Определение. Первообразной для функции f называется такая функция F, производная которой равна данной функции.
2)Если F1 и F2 – две первообразные для одной и той же функции f, то они отличаются на постоянное слагаемое. ... Функция, производная которой тождественно равна нулю, является постоянной. Итак, F1 – F2 = С. Таким образом, все первообразные для функции f получаются из одной из них прибавлением к ней произвольной постоянной.
3)совокупность первообразных функции и называется непределенным интегралом от функции . Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интегралом от и обозначается символическим выражением , которое читается "интеграл от эф от икс по дэ икс".
4) Знак интеграла (∫) используется для обозначения интеграла в математике.
5)Множество всех первообразных F(x)+C функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается . Символ называется интегралом, f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx называется подынтегральным выражением, x называется переменной интегрирования.
6)Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x). Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.
7)Если – одна из первообразных некоторой функции , то совокупность всех первообразных этой функции можно представить в виде , где C – произвольная постоянная. Функция, имеющая первообразную в некотором промежутке, называется интегрируемой, а процедуру нахождения первообразной называют интегрированием этой функции.
8)Неопределенный интеграл его свойства. ... Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается как ∫f(x)dx. Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение ∫f(x)dx=F(x)+C, где C - произвольная постоянная.
9)Метод интегрирования, при котором интеграл с тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.
10)Геометрически определённый интеграл выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной графиком функции[⇨].
11)Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления. Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x).
12)Криволинейная трапеция – плоская фигура, ограниченная графиком неотрицательной непрерывной функции у = f(x), определенной на отрезке [a; b], осью абсцисс и прямыми х = а, х = b – см. рис.
{2x + y = 5 ⇒ у = 5 - 2х
{2y - x =0
подстановки:
2(5 - 2х) - х = 0
10 - 4х - х = 0
10 - 5х = 0
- 5х = - 10
5х = 10
х = 10/5
х = 2
у = 5 - 2*2 = 5 - 4
у = 1
ответ : ( 2 ; 1) .
2)
{ 3x - 5y = 1 |*( - 3 )
{ 4x - 3y = 5 |* 5
{ - 9x + 15y = - 3
{ 20x - 15y = 25
сложения:
- 9х + 15у + 20х - 15у = - 3 + 25
11х = 22
х = 22/11
х = 2
3 * 2 - 5у = 1
6 - 5у = 1
5у = 6 - 1
5у = 5
у = 1
ответ : ( 2 ; 1) .
3)
{ 1/3 * х + 1/4 * у = 1/2 | * 12
{ 2x - 3y = 30
{ 4x + 3y = 6
{ 2x - 3y = 30
сложения:
4х + 3у + 2х - 3у = 6 + 30
6х = 36
х = 6
2 * 6 - 3у = 30
12 - 3у = 30
- 3у = 30 - 12
- 3у = 18
у = - 6
ответ : ( 6 ; - 6) .