1) у = 2cos²α - 1
Наибольшее значение cos²α = 1, поэтому у наиб = 2·1 - 1 = 1
Наименьшее значение cos²α = 0, поэтому у наим = 2·0 - 1 = -1
2) y =|2 - 5cosα|
а) Пусть 2 - 5cosα ≥ 0, тогда 5cosα ≤ 2 и cosα ≤ 0,4
y = 2 - 5cosα
Наибольшее значение cosα = 0,4, поэтому у наим = 2 - 5·0,4 = 0
Поскольку наименьшее значение cosα = -1, то
у наиб = 2 - 5·(-1) = 7
б) Пусть 2 - 5cosα ≤ 0, тогда 5cosα ≥ 2 и cosα ≥ 0,4
y = -2 + 5cosα
Наимеьшее значение cosα = 0,4, поэтому у наим = -2 + 5·0,4 = 0
Поскольку наибольшее значение cosα = 1, то
у наиб = -2 + 5·1 = 3
Сопоставляя случаи а) и б) видим, что у наим = 0, у наиб = 7.
Пусть А=n^2+m^2, где m>=n, m э N, n э N
тогда 2A=2(n^2+m^2)=2n^2+2m^2=2m^2+2n^2+-2mn+2mn=
=(m^2-2mn+n^2)+(m^2+2mn+n^2)=(m-n)^2+(m+n)^2
Обратно:
2A=n^2+m^2, где m>=n, m э N, n э N
тогда
A=(n^2+m^2)/2=(n^2+m^2)/2+mn/2-mn/2=(n^2/4-mn/2+m^2/4)+(m^2/4+mn/2+n^2/4)=(m/2-n/2)^2+(m/2+n/2)^2
(заметим, что из равенства 2A=n^2+m^2 следует, что правая часть делится на 2, что в свою очередь означает, что числа m и n одинаковой четности, поэтому числа m/2-n/2=(m-n)/2 и m/2+n/2=(m+n)/2 целые неотрицательные)
