Question

Это 1)решите логарифмическое уравнение 1/2lg(3x+1)=lg(x-1)+lg1 2)решите показательное уравнение 25^x-6*5^x=-5

Answer 1

1) $\frac{1}{2} lg(3x + 1) = lg(x - 1) + lg1$
Условие существования логарифма: 3x + 1 > 0 ⇒ x > $- \frac{1}{3}$, x > 1 ⇒ x > 1. 
По свойству логарифма: logₐb - logₐc = logₐ$\frac{b}{c}$ при условии существования логарифмов. В нашем случае это тоже работает: данные логарифмы десятичные, значит, в основании 10. Вспомним, что $n * log_{a}b = log_{a}b^n$ (также при условии существования логарифма). Сразу вычислим lg1 - чтобы получить из 10 1, нужно 10 возвести в нулевую степень, значит, что 0. Тогда наше уравнение равносильно такому: 
$lg(3x + 1)^{0.5} = lg(x - 1)$
Т.к. логарифмическая функция каждое свое значение принимает единожды, 
$(3x + 1)^{0.5} = x - 1$
Мы уже ставили условие, что x - 1 > 0, тогда 
3x + 1 = (x - 1)²
3x + 1 = x² - 2x + 1
x² - 5x = 0
x(x - 5) = 0 
x = 0 или x = 5. 
Вспоминаем, что x > 1, и получаем x = 5. 

ответ: 5. 

2) 25ˣ - 6 * 5ˣ = -5
Знаем, что 25 = 5², значит, уравнение принимает такой вид: 
(5²)ˣ - 6 * 5ˣ = -5
По свойству дробей (5²)ˣ раскрывается, как 5²ˣ, и можем представить в виде (5ˣ)², значит, 
(5ˣ)² - 6 * 5ˣ = -5
Пусть t = 5ˣ, тогда 
t² - 6t + 5 = 0
t = 1 или t = 5. 
Обратная замена: 
5ˣ = 1 или 5ˣ = 5, т. е. x = 0 или x = 1. 

ответ: 0; 1.