Множество а содержит 101 элемент. докажите, что количество его подмножеств, которые содержат парное количество элементов, равно количеству подмножеств, которые содержат непарное количество элементов.
Сопоставим каждому подмножеству B, состоящему из четного числа элементов, подмножество C, полученное выкидыванием из A элементов, принадлежащих B. Поскольку в A нечетное число элементов, а в B четное число элементов, в С будет нечетное число элементов. В результате все подмножества разобьются на подобные пары подмножеств. Поэтому подмножеств, состоящих из четного числа элементов столько же, сколько подмножеств, состоящих из нечетного числа элементов.
Для тех, кому мое рассуждение показалось сложным, рассмотрю пример с меньшим числом элементов. Пусть, скажем, в A 5 элементов: A={a, b, c, d, e}. Подмножеству {a, b} соответствует подмножество {c, d, e}, подмножеству {a, c} соответствует подмножество {b, d, e}, подмножеству {a, b, c, d} соответствует подмножество {e}, и так далее. Пустому подмножеству (в нем ноль элементов) соответствует само множество A.
Разобьем все подмножества на пары (B,C), где B пробегает подмножества, состоящие из четного числа элементов, а C -- это подмножество, состоящее из тех элементов, которые не попали в B. Поскольку в A нечетное число элементов, в C будет нечетное число элементов.
Хорошо, вам не объяснили толково что такое вообще математическая логика, но это на самом деле нормальный случай, сами дают и не знают, что дают. Давайте разберемся. Пусть некоторое A - утверждение. Будем называть утверждением некоторое предположение, которое характеризуется либо как истинное и тогда утверждение равняется единице, либо как ложное и тогда утверждение равняется нулю. В данном случае за утверждение принимается: A - предположение, говорящее, что Первая буква гласная. B - предположение, говорящее, что Последняя буква согласная. Немного об операциях в т.н. алгебре логики (термин сложный и его нужно разъяснять отдельно, делается это в курсе т.н. "высшей алгебры"). Это сложение (известное также как объединение в теории множеств) и умножение (пересечение). Здесь их называют логическое "ИЛИ" (дизъюнкция) и логическое "И" (конъюнкция). Раз уж речь идет об алгебре, то, конечно, имеем также логическое "НЕ". По аналогии с теорией множеств, это дополнение к какому-то операнду (а суть унарная операция, интересная вещь). Давайте запишем как нужно само выражение. -A∧-B (вместо минусов нужно черточку над буквой). Таблица истинности выглядит так: В наименованиях столбцов пишите A и B и ваше выражение третьим. Затем подставляете различные наборы значение A и B, A и B принимают только значения 0 и 1. Получаете соответственно 0 или 1. "НЕ" - значит, утверждение обращается - было 1, стало 0, и наоборот. "И" - дает 1 если оба операнда 1, иначе дает 0. "ИЛИ" - дает 0 если оба операнда 0, иначе дает 1. Вот и все. Заполняете и получаете нужное.
Сопоставим каждому подмножеству B, состоящему из четного числа элементов, подмножество C, полученное выкидыванием из A элементов, принадлежащих B. Поскольку в A нечетное число элементов, а в B четное число элементов, в С будет нечетное число элементов. В результате все подмножества разобьются на подобные пары подмножеств. Поэтому подмножеств, состоящих из четного числа элементов столько же, сколько подмножеств, состоящих из нечетного числа элементов.
Для тех, кому мое рассуждение показалось сложным, рассмотрю пример с меньшим числом элементов. Пусть, скажем, в A 5 элементов: A={a, b, c, d, e}. Подмножеству {a, b} соответствует подмножество {c, d, e}, подмножеству {a, c} соответствует подмножество {b, d, e}, подмножеству {a, b, c, d} соответствует подмножество {e}, и так далее. Пустому подмножеству (в нем ноль элементов) соответствует само множество A.
Разобьем все подмножества на пары (B,C), где B пробегает подмножества, состоящие из четного числа элементов, а C -- это подмножество, состоящее из тех элементов, которые не попали в B. Поскольку в A нечетное число элементов, в C будет нечетное число элементов.