Question

Докажите ,что при любом натуральном значении n значение выражения а)18 в степени 2n+5 +1-это слагаемое кратно 19 б)15 в степени n + 27-это слагаемое кратно 14

Answer 1

А) (18²ⁿ+5)+1 кратно 19при n€N
1) при n=1
18^7+1=612 220 033=19×32 222 107 делится на 19
2) пусть при n=k
${18}^{2k + 5} + 1= mod19$
3)докажем при n=k+1${18}^{2(k + 1) + 5} + 1 = {18}^{2k + 5} \times {18}^{2} + 1 = \\ = ({18}^{2k + 5} + 1) \times {18}^{2} - {18}^{2} + 1 = \\ = ({18}^{2k + 5} + 1) \times {18}^{2} - (18 - 1)(18 + 1) = \\ = ({18}^{2k + 5} + 1) \times {18}^{2} - 17 \times 19$
уменьшаемое делится на 19 по предположению матиндукции
вычитаемое тоже делится на 19,
поэтому при n=k+1 доказана делимость на 19,
а значит и наше выражение делится на 19 при любых n€N

б)15ⁿ+27 кратно 14 при n€N
1) n=1
15¹+27=42 =14*3
делится на 14
2) пусть при n=k
${15}^{k} + 27= mod(14)$
3) докажем кратность при n=k+1

${15}^{k + 1} + 27 = 15 \times {15}^{k} + 27 = \\ = 15 \times {15}^{k} + 27 = \\ = 15 \times ( {15}^{k} + 27) - 15 \times 27 + 27 = \\ = 15 \times ( {15}^{k} + 27) - 14 \times 27$

уменьшаемое делится на 14 по предположению матиндукции
вычитаемое тоже делится на 14,
поэтому при n=k+1 доказана делимость на 14,
а значит и выражение наше делится на 14 при любых n€N