Для решения данного вопроса, сначала разберемся с каждым логарифмом по отдельности:
1) log по основанию 5 числа 3 по основанию 3:
Этот логарифм можно переписать с помощью свойства изменения основания логарифма:
log по основанию a числа b = log по основанию c числа b / log по основанию c числа a
Применяя это свойство к данному логарифму, получим:
log по основанию 5 числа 3 по основанию 3 = log по основанию 3 числа 3 / log по основанию 3 числа 5
log по основанию 3 числа 3 равен 1 (так как 3 в степени 1 равно 3), а log по основанию 3 числа 5 мы не можем упростить, поэтому оставляем его в таком виде.
2) log числа 1/7 по основанию 7:
В данном случае основание логарифма совпадает с числом под логарифмом, поэтому логарифм в данном случае равен 1:
log числа 1/7 по основанию 7 = 1
Теперь, объединим эти два логарифма в исходном вопросе:
log по основанию 5 log числа 3 по основанию 3 - log числа 1/7 по основанию 7 = log по основанию 3 числа 5 - 1
Таким образом, ответ на данный вопрос равен (log по основанию 3 числа 5 - 1). Дальнейшего упрощения данного выражения не требуется, так как это уже окончательный ответ.
Давайте рассмотрим каждое из данных двойных неравенств отдельно и найдем значения переменной х, для которых неравенства выполняются.
1) 0 ≤ х^2 - 4х < 5
Для начала, приведем неравенство к виду х^2 - 4х - 5 ≥ 0. Теперь решим квадратное уравнение х^2 - 4х - 5 = 0:
D = (-4)^2 - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36
Так как дискриминант D больше нуля, уравнение имеет два действительных корня:
х1 = (4 + √36) / 2 = (4 + 6) / 2 = 5
х2 = (4 - √36) / 2 = (4 - 6) / 2 = -1
Теперь построим таблицу знаков для значения функции х^2 - 4х - 5 на отрезке между найденными корнями:
-∞ -1 5 ∞
+ - + +
Из таблицы знаков видно, что неравенство выполняется при значениях х из интервала [-1, 5], то есть ответом на это неравенство будет:
Ответ: -1 ≤ х ≤ 5.
2) -2 < 3х^2 - 4х - 1 < 2
Приведем неравенство к виду 3х^2 - 4х - 1 > -2 и 3х^2 - 4х - 1 < 2:
3х^2 - 4х + 1 > -2
3х^2 - 4х - 1 < 2
Решим первое неравенство:
3х^2 - 4х + 3 > 0
D = (-4)^2 - 4 * 3 * 3 = 16 - 36 = -20
Так как дискриминант D меньше нуля, уравнение не имеет действительных корней. Из этого следует, что неравенство 3х^2 - 4х + 3 > 0 никогда не выполняется.
Решим второе неравенство:
3х^2 - 4х - 3 < 0
D = (-4)^2 - 4 * 3 * (-3) = 16 + 36 = 52
Так как дискриминант D больше нуля, уравнение имеет два действительных корня:
х1 = (4 + √52) / 6
х2 = (4 - √52) / 6
Построим таблицу знаков для значения функции 3х^2 - 4х - 3 на отрезке между найденными корнями:
-∞ х1 х2 ∞
- + - +
Из таблицы знаков видно, что неравенство выполняется при значениях х из интервала (х1, х2), то есть ответом на это неравенство будет:
Ответ: х1 < х < х2.
3) 2 ≤ 2х^2 - 5х + 2 < 4
Приведем неравенство к виду 2х^2 - 5х + 2 ≥ 2 и 2х^2 - 5х + 2 < 4:
2х^2 - 5х ≥ 0
2х^2 - 5х < 2
Решим первое неравенство:
2х^2 - 5х = 0
х(2х - 5) = 0
Из этого следует, что х = 0 или х = 5/2. Построим таблицу знаков для значения функции 2х^2 - 5х на отрезке между найденными корнями:
-∞ 0 5/2 ∞
- 0 + +
Из таблицы знаков видно, что первое неравенство выполняется при х в интервалах (-∞, 0] и [5/2, +∞).
Решим второе неравенство:
2х^2 - 5х - 2 < 0
D = (-5)^2 - 4 * 2 * (-2) = 25 + 16 = 41
Так как дискриминант D больше нуля, уравнение имеет два действительных корня:
х1 = (5 + √41) / 4
х2 = (5 - √41) / 4
Построим таблицу знаков для значения функции 2х^2 - 5х - 2 на отрезке между найденными корнями:
-∞ х1 х2 ∞
+ - + +
Из таблицы знаков видно, что второе неравенство выполняется при значениях х из интервала (х2, х1), то есть ответом на это неравенство будет:
Ответ: х2 < х < х1.
4) -2 ≤ х^2 - 4х < 5
Приведем неравенство к виду х^2 - 4х + 2 ≥ -2 и х^2 - 4х + 2 < 5:
х^2 - 4х ≥ -4
х^2 - 4х < 3
Решим первое неравенство:
х^2 - 4х + 4 ≥ 0
(х - 2)^2 ≥ 0
Это неравенство выполняется для всех значениях х. Построим таблицу знаков для значения функции х^2 - 4х + 2 на отрезке от минус бесконечности до плюс бесконечности:
-∞ ∞
+ +
Из таблицы знаков видно, что первое неравенство выполняется при любых значениях х.
Решим второе неравенство:
х^2 - 4х - 3 < 0
Данное неравенство выполняется на интервале (-∞, 3) и (1, +∞). Построим таблицу знаков для значения функции х^2 - 4х - 3 на отрезке от минус бесконечности до плюс бесконечности:
-∞ 1 3 ∞
- - + +
Из таблицы знаков видно, что второе неравенство выполняется при значениях х из интервалов (1, 3) и (-∞, 1).
