Question

Найти сумму корней уравнения f(x)=0, если (7, -3) - вершина параболы f(x)=8x2+bx+c.

Answer 1

Координата вершины х: $x=-\dfrac{b}{2\cdot8}$ и тогда из согласно условию x=7, то решим уравнение

$7=-\dfrac{b}{2\cdot8}~~~~\Rightarrow~~~~~ b=-112$

И подставив b=-112; y=-3; x=7 в исходную функцию, найдем коэффициент c.

$-3=8\cdot 7^2-112\cdot 7+c\\ c=-1963$

Получили функцию $f(x)=8x^2-112x-1963$

Сумму корней уравнения f(x)=0 или $8x^2-112x-1963=0$ можно найти по теореме Виета:

$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{112}{8}=14$

ответ: 14.

Answer 2

task/29855703 Найти сумму корней уравнения f(x)=0, если (7, -3) - вершина параболы f(x)=8x²+bx+c.                                                     || x₀ =7 ; y₀ = - 3  ||

Решение      Уравнение  имеет корней,  т.к. ветви параболы направлены вверх (8 > 0 ) , a ординат вершины отрицательно  y₀ = - 3 < 0 .

Виет !      

f(x) = a( x+ b/2a)² - (b²- 4ac) /4a ,    Вершина параболы: ( - b/2a  ;  - (b² -4ac) /4a  )

абсцисса вершины   x₀ = - b/2a =(- b/a) /2 = (x₁ +x₂) /2 ⇒   x₁ +x₂ =2x₀

Для  данного частного случая  получаем  x₁ +x₂ = 2*7  = 14 .

ответ : 14.

8x²+bx+c =  8(x²+ (b/8)x +c/8 ) ;    x₁ +x₂= - b/8

f(x)=8x²+bx+c =8(x+b/16)² - b²/32+c ⇒ x₀= - b/16 =(- b/8) /2 = (x₁ +x₂)/2 ⇒x₁ +x₂=2x₀ ; x₁ +x₂=2*7 =14 .