Количество игр: 2
:
Выигрыш (В) - 3 очка
Ничья (Н) - 1 очко
Проигрыш (П) - 0 очков
P(Н) = 0,1
Так как общая вероятность равна 1 или 100%, то:
P(В+П) = 1 - 0,1 = 0,9
По условию Р(В) = Р(П), тогда:
Р(В) = P(В+П) /2 = 0,9 / 2 = 0, 45
Р(П) = P(В+П) /2 = 0,9 / 2 = 0, 45
Команде не удасться выйти в следующий круг соревнований при следующих событиях:
1 игра - проигрыш, 2 игра - выигрыш1 игра - выигрыш, 2 игра - проигрыш1 игра - проигрыш, 2 игра - проигрыш1 игра - ничья, 2 игра - ничья1 игра - ничья, 2 игра - проигрыш1 игра - проигрыш, 2 игра - ничьяР(1) = Р(П) * Р(В) = 0,45 * 0,45 = 0,2025
Р(2) = Р(В) * Р(П) = 0,45 * 0,45 = 0,2025
Р(3) = Р(П) * Р(П) = 0,45 * 0,45 = 0,2025
Р(4) = Р(Н) * Р(Н) = 0,1 * 0,1 = 0,01
Р(5) = Р(Н) * Р(П) = 0,1 * 0,45 = 0,045
Р(6) = Р(П) * Р(Н) = 0,45 * 0,1 = 0,045
Вероятность того, что команде не удастся выйти в следующий круг соревнований:
Р = Р(1) + Р(2) + Р(3) + Р(4) + Р(5) + Р(6) = 0,2025 + 0,2025 + 0,2025 + 0,01 + 0,045 + 0,045 = 0,7075 = 0,71
а⁴ + b⁴ ≥ а³b + аb³
1)
а⁴ + b⁴ - а³b - аb³ ≥ 0
а³(а-b) - b³(а-b) ≥ 0
(а-b)(а³-b³) ≥0
(а-b)(а-b)(а²+аb+b²) ≥0
(а-b)²·(а²+аb+b²) ≥0
2)
Первая скобка всегда больше или равна 0, остаётся доказать, что вторая скобка тоже всегда больше или равна 0.
а²+аb+b² ≥0
a) Докажем для неотрицательных a и b.
(a²+ab+ab+b²)-ab ≥ 0
(a² + 2ab + b²) ≥ ab
(a+b)² ≥ ab
а+b ≥ √аb
Это неравенство справедливо как следствие из теоремы Коши для среднего арифметического и среднего геометрического:
(а+b)/2 ≥ √аb
Таким образом, всегда справедливо неравенство во второй скобке
(a²+ab+b²) ≥ 0.
2) Докажем справедливость неравенства (a²+ab+b²) > 0 для отрицательных значений a и b.
a<0; b<0
a²>0; b²>0 - первое и третье слагаемые a² и b² всегда положительны
ab>0, как произведение двух отрицательных(минус × минус = плюс)
Сумма положительных слагаемых тоже положительна:
(a²+ab+b²) > 0
3) Докажем справедливость неравенства (a²+ab+b²) > 0 для значений a и b, различных по знаку: a>0; b<0.
(a²+ab+ab+b²)-ab > 0
(a² + 2ab + b²) > ab
(a+b)² > ab
Это неравенство справедливо, т.к.
(a+b)² ≥ 0
ab < 0 (плюс × минус = минус)
Положительное число больше отрицательного.
Таким образом все три варианта доказывают справедливость неравенства
(а²+ab+b²)≥0. Что и требовалось доказать.
.............................