Неполные квадратные уравнения
Неполные квадратные уравнения – это квадратные уравнения, у которых коэффициент в или коэффициент с равен нулю. Возможно три варианта неполных уравнений:
Коэффициент b=0
Коэффициент с=0
Коэффициенты b=0 и с=0
Рассмотрим каждый из вариантов и решим несколько примеров.
Виды неполных квадратных уравнений
Каждый подвид уравнения решается быстро и Главное владеть навыком преобразования выражения, а именно переносом чисел из одной части тождества в другую и выносом общего множителя за скобку.
Первый случай
Если коэффициент b=0. Тогда формула неполного квадратного уравнения принимает вид:
ax2+с=0ax2+с=0
ax^2+с=0
В таком случае, решение принимает следующий вид:
ax2+с=0ax2+с=0
ax^2+с=0
ax2=−сax2=−с
ax^2=-с
x2=−сax2=−сa
x^2=-с\over{a}
x1=−сa−−−√x1=−сa
x_1=\sqrt{-с\over{a}}
x2=−−са−−−√x2=−−са
x_2= -\sqrt{-с\over а}- обратите внимание, что под корнем может оказаться как положительное, так и отрицательное число. Знак минуса в данном случае указывает на противоположность. В случае, если под корнем в результате получится отрицательное число, то действительных корней уравнение не имеет.
Решим пример:
7x2−28=07x2−28=0
– перенесем 28 в правую часть выражения.
7x2=287x2=28
– разделим обе части выражения на 7.
x2=4x2=4
x1=2x1=2
x2=−2x2=−2
Вот и все решение.
Второй случай
Во втором случае нулю равен будет коэффициент с. Тогда уравнение примет вид:
аx2+bx=0аx2+bx=0
аx^2+bx=0
В этом случае, решение будет выглядеть немного иначе:
ax2+bx=0ax2+bx=0
ax^2+bx=0
x(ax+b)=0x(ax+b)=0
x(ax+b)=0
x1=0x1=0
x_1=0
ax2+b=0ax2+b=0
ax_2+b=0
ax2=−bax2=−b
ax_2=-b
x2=−ba
Решим небольшой пример.
3x2−12x=03x2−12x=0
x(3x−12)=0x(3x−12)=0
x1=0x1=0
3x2−12=03x2−12=0
3x2=123x2=12
x2=123x2=123
x2=4
Этот иногда используется и при решении полных квадратных уравнений. Если уравнение можно свернуть по любой из формул сокращенного умножения, то потом каждую из скобок-множителей можно приравнять к нулю и решить уравнение гораздо быстрее, чем через дискриминант.
Третий случай
Третий случай самый когда b и с равны нулю. В этом случае, оба корня всегда равны 0.
ax2=0ax2=0
ax^2=0
x1=0x1=0
x_1=0
x2=0x2=0
x_2=0
Обратите внимание на то, что в любом случае, для корней квадратного уравнения необходима проверка. Каждый из получившихся корней нужно подставить в исходное уравнение и подсчитать результат.
Для неполных уравнений это особенно важно, потому что все считают их легкими и не акцентируют внимание на подсчетах. Это может привести к разного рода ошибкам. Чаще всего, ученики путают знаки. Вместо + получается – и наоборот. Помните, что знаки это очень важно и за ними нужно следить при переносе и делении чисел. Проверить себя можно и подставив значения в приведенные в статье формулы.
Иногда коэффициент а может быть отрицательным. В этом случае, вам придется делить на отрицательное число. А значит – все знаки выражения поменяются на противоположные. Будьте внимательны в этих скользких моментах.
1) По теореме косинусов
; 
2) По теореме синусов
; AB=5.
3) Из теоремы косинусов следует, что
Пусть напротив стороны длиной 6 см лежит угол α, напротив отрезка длиной 8 см лежит угол 
, а напротив стороны длиной 11 см лежит угол β.
Тогда cosα=(8^2+11^2-6^2)/(2*8*11)= 149/176. Значит, α - острый угол.
cosγ=(6^2+11^2-8^2)/(2*6*11)= 93/132
Следовательно,
-острый угол.
Аналогично
<0 Значит, β - тупой угол.
Таким образом, треугольник - тупоугольный.
4) Пусть треугольник имеет стороны x, x+3 и 7, где угол между сторонами x и x+3 равен 60. По теореме косинусов
. Выходит, что 
;
x=-8 или x=5. Значит, x=5. Тогда периметр треугольника равен 5+(5+3)+7=20 см.
5) Пусть a=4 см, b=13 см и c=15 см. Найдем площадь треугольника по формуле Герона.
, где p-полупериметр треугольника. Тогда p=16 см и 
=24. Радиус вписанной окружности можно найти по формуле 
. Тогда 
=1,5.
6) Пусть медиана к стороне длиной 4 см равна с. Достроим треугольник до параллелограмма с диагоналями равными 4 и 2*с.
В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон. Докажем этот факт. Ясно, что с^2=a^2+b^2-2*a*b*cosα. Аналогично d^2=a^2+b^2-2*a*b*cos(180α)=a^2+b^2+2*a*b*cosα. Сложим полученные равенства. Выходит, что c^2+d^2=2(a^2+b^2), ч.т.д.
Тогда имеем: 2*(5^2+7^2)=(2*c)^2+4^2
Решив это уравнение получим, что