ответ: г) e³; д) ∞; е) 0.
Объяснение:
г) Данное выражение при x⇒0 представляет собой неопределённость вида 1^∞. Так как ctg²(x)=1/tg²(x), то это выражение приводится к виду [1+3*tg²(x)]^[1/tg²(x)]. Если положить 3*tg²(x)=t, то при x⇒0 t⇒0 и тогда это выражение принимает вид (1+t)^(3/t)=[(1+t)^(1/t)]³. Но предел выражения в квадратных скобках есть ни что иное, как второй замечательный предел, равный e. Поэтому искомый предел равен e³.
д) Обозначим искомый предел через А. Данное выражение при x⇒0 представляет собой неопределённость вида 0/0.
1) Прежде всего, умножим числитель и знаменатель дроби на (√(x+1)+1). После этого дробь примет вид 1/[(√(x+1)+1]*x/[ln(cos π*x)] . Предел первого множителя при x⇒0 равен 1/2, поэтому A=1/2*lim x/[ln(cos π*x)]=1/(2*π)*lim π*x/[ln(cos π*x)]. Полагая π*x=t и замечая, что при x⇒0 t⇒0, перепишем это выражение в виде A=1/(2*π)*lim t/[ln(cos t)]. А так как lim t/[ln(cos t)]=1/lim [ln(cos t)]/t, то, полагая lim [ln(cos t)]/t=B, получаем выражение A=1/(2*π*B).
2) Вычислим теперь предел B. Положим C=e^B=e^lim [ln(cos t)]/t=lim e^[ln(cos t)]/t=lim(cos t)^(1/t). Так как cos t=1-2*sin²(t/2), а бесконечно малую величину t, используя первый замечательный предел, можно заменить эквивалентной бесконечно малой sin t, то при вычислении предела C выражение (cos t)^(1/t) можно записать в виде [1-2*sin²(t/2)]^(1/sin t). И так как sin t=2*sin(t/2)*cos(t/2), то показатель степени можно записать в виде 1/[2*sin(t/2)*cos(t/2)]=-sin(t/2)/[-2*sin²(t/2)*cos(t/2)]. Тогда всё выражение можно записать в виде {[1-2*sin²(t/2)]^[-1/2*sin²(t/2)]}^[-tg(t/2)]. Но предел выражения в скобках { } есть ни что иное, как второй замечательный предел, равный e. А так как при t⇒0 -tg(t/2)⇒0, то С=e^0.
3) Из равенства C=e^B=e^0 находим B=0. Отсюда искомый предел A=1/(2*π*B)=1/0=∞.
е) Данное выражение при x⇒∞ представляет собой неопределённость вида ∞-∞. Представим его в виде [x³-∛(x³+5)]/1 и умножим числитель и знаменатель получившейся дроби на [x²+x*∛(x³+5)+∛(x³+5)²]. После этого выражение примет вид -5/[x²+x*∛(x³+5)+∛(x³+5)²]. Так как знаменатель дроби при x⇒∞ стремится к ∞, то искомый предел равен -5/∞=0.
Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений. Обратная функция по отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y∈E ставит в соответствие такое значение x∈D, что f(x)=y.
Таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений y=f(x) — областью определения обратной функции.
Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо:
1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y:
x=f(y).
2) Из полученного равенства выразить y через x:
y=g(x).
Пример.
Найти функцию, обратную функции y=2x-6.
1) x=2y-6
2) -2y=-x-6
y=0,5x+3.
Функции y=2x-6 и y=0,5x+3 являются взаимно обратными.
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных четвертей).
y=2x-6 и y=0,5x+3 — линейные функции. Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой берём две точки.
\[\begin{array}{l} y = 2x - 6\\ \begin{array}{*{20}{c}} x&\vline& 0&\vline& 3\\ \hline y&\vline& { - 6}&\vline& 0 \end{array} \end{array}\]
p=2a+2b. p=2*6+2*10. p=12+20=32 (см)