Question

1)дана функция f(x)= - x^3/3 +x^2/2+2x-3 найти ее критические точки. 2) найти экстремумы функции

Answer 1

Объяснение:

1)

$f(x) =-\frac{x^{3} }{3} +\frac{x^{2} }{2} +2x-3$

D(f) =R

Внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю  или не существует, называются критическими точками.

$f'(x) =-\frac{3x^{2} }{3} +\frac{2x}{2} +2 ;\\\\f'(x) = -x^{2} +x+2;\\-x^{2} +x+2 =0|*(-1) ;\\x^{2} -x-2=0;\\D= 1+8=90 \\\left [\begin{array}{lcl} {{x=-1,} \\ {x=2.}} \end{array} \right.$

ответ : -1; 2.

2)

$f(x) = (6-3x) \sqrt{x} \\$

D(f) =[0; +∞)

$f'(x) = (6-3x)'*\sqrt{x} +(6-3x)* (\sqrt{x} )'= -3*\sqrt{x} +\frac{6-3x}{2\sqrt{x} } =\\\\\frac{-6x+6-3x}{2\sqrt{x} } =\frac{6-9x}{2\sqrt{x} } ;\\f'(x) =0;\\6-9x=0;\\-9x=-6;\\x=-6:(-9) ;\\x=\frac{2}{3} .$

$x=\frac{2}{3}$ - критическая точка .

При переходе через эту точку производная меняет свой знак с "+"

на "-".  Значит $x=\frac{2}{3}$ - точка максимума .

Найдем значение функции в данной точке . Это и будет максимум функции

$f(\frac{2}{3} = (6-3*\frac{2}{3} ) \sqrt{\frac{2}{3} } =(6-2)* \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{3} } = 4*\frac{\sqrt{6} }{3} =\frac{4\sqrt{6} }{3} .$

ответ : $\frac{4\sqrt{6} }{3}$  - максимум функции.