Задание 1
Составьте уравнение касательной к графику функции
у=2х²+1 в точке Х₀=2
Уравнение касательной:
у(кас)= f(x₀)+f`(x₀)*(x-x₀)
найдем f(x₀)=2*2²+1=9
найдем f`(x)=(2x²+1)`=4x
f`(x₀)=4*2=8
Тогда уравнение касательной
у(кас)=9+8(х-2)=9+8х-16=8х-7
Задание 2
Для функции f(x) = - x³ + 3х +2
Найдите:
а) промежутки возрастания и экстремумы функции
Найдем производную нашей функции
f`(x)= -3x²+3
найдем нули производной
f`(x)=0
-3x²+3=0; x²=1; x=±1
точки экстремума х=±1
Теперь определим промежутки возрастания и убывания
для этого определим знаки производной на промежутках
__- -1+1-
убывает возрастает убывает
промежутки убывания (-∞;-1]∪[1;+∞)
промежутки возрастания [-1;1]
точка х= -1 точка минимума
точка х=1 точка максимума
б) наибольшее и наименьшее значение на отрезке [1 ; 3]
На данном отрезке функция убывает, значит
при х=1 наибольшее значение f(1)= -1³+3*1+2=4
при х= 3 наименьшее значение f(3)= -3³+3(3)+2= -27+9+2= -16
метод математической индукции
1. n=1 1^2+1=2 четное
2. n=k k^2+k четное
3. n=k+1 (k+1)^2+k+1=k^2+2k+1+k+1=
=(k^2+k)+2+2k=(k^2+k)+2*(1+k)
k^2+k- четное по предположению, 2*(k+1) четно так как содержит
четный множитель.
Утверждение доказано.