Question

Вычислить по каких действительных значениях а уравнение имеет 4 корня

Answer 1

$\sf \dfrac{x^4-10a^2x^2+9a^4}{2x^2-3x-2}=0$

Раскладываем числитель и знаменатель на множители

$\sf 2x^2-3x-2=2x^2-4x+x-2=2x(x-2)+(x-2)=(2x+1)(x-2)= \\ =2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(x-2) \\ \\ \\ x^4-10a^2x^2+9a^4=(x^4-10a^2x^2+25a^4)-16a^4=(x^2-5a^2)^2-16a^4= \\ =(x^2-5a^2-4a^2)(x^2-5a^2+4a^2)=(x^2-9a^2)(x^2-a^2)=(x-3a)(x+3a)(x-a)(x+a)$

В итоге исходное уравнение запишется как

$\sf \dfrac{(x-3a)(x+3a)(x-a)(x+a)}{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(x-2)\end{array}\right] }=0$

В числителе имеем 4 корня, но в связи с ограничениями по ОДЗ (x≠-1/2; x≠2), требуется исключить следующие случаи

$\sf -3a\neq\dfrac{1}{2} \ \ \Rightarrow \ \ a\neq-\dfrac{1}{6} \\ \\ 3a\neq\dfrac{1}{2} \ \ \Rightarrow \ \ a\neq\dfrac{1}{6} \\ \\ a\neq\dfrac{1}{2} \\ \\ -a\neq\dfrac{1}{2} \ \ \Rightarrow \ \ a\neq-\dfrac{1}{2} \\ \\ -3a \neq -2 \ \ \Rightarrow \ \ a\neq\dfrac{2}{3} \\ \\ 3a\neq-2 \ \ \Rightarrow \ \ a \neq -\dfrac{2}{3} \\ \\ a\neq-2 \\ \\ -a\neq-2 \ \ \Rightarrow \ \ a\neq 2$

А еще исключим возможность повторения корней

$\sf a \neq 0$

ответ: $\sf a \in \left(- \infty; \ -2\right) \cup \left(-2; \ -\dfrac{2}{3}\right) \cup \left(-\dfrac{2}{3}; \ -\dfrac{1}{2}\right) \cup \left(-\dfrac{1}{2}; \ -\dfrac{1}{6}\right) \cup \left(-\dfrac{1}{6}; \ 0\right)\cup \left(0; \ \dfrac{1}{6}\right) \cup\\\cup\left(\dfrac{1}{6}; \ \dfrac{1}{2}\right)\cup\left(\dfrac{1}{2}; \ \dfrac{2}{3}\right)\cup\left(\dfrac{2}{3}; \ 2\right)\cup(2; \ + \infty)$