Question

Па­ра­бо­ла про­хо­дит через точки k(0; –5), l(4; 3), m(–3; 10). най­ди­те ко­ор­ди­на­ты её вер­ши­ны.
с пояснениями. (больше всего интересует нахождение: а, в и с)

Answer 1

Уравнение параболы в общем виде выглядит так:  

y = ax²+bx+c

Подставив координаты точек, через которые проходит парабола, в уравнение параболы и получим систему из трёх уравнений.

1) Координаты х₁=0; у₁= -5 точки K(0; –5) подставим в уравнение параболы y = ax²+bx+c и получим:  

-5 = a·0² +b·0+c

c= - 5 первое уравнение.

2) Координаты х₂=4; у₂= 3 точки L(4; 3) подставим в уравнение параболы y = ax²+bx+c и получим:  

3 = a·4² +b·4+c

16a+4b+c= 3   второе уравнение.

3) Координаты х₃= -3; у₁=  10 точки M(-3; 10) подставим в уравнение параболы y = ax²+bx+c и получим:

10 = a·(-3)² +b·(-3)+c

9a-3b+c= 10   третье уравнение.

4) Решаем систему из трёх уравнений:

{c= -5

{16a+4b+c = 3

{9a-3b+c = 10

Подставим c= -5 во второе и третье уравнения, получим систему из двух уравнений:

$\left\{ {{16a+4b-5=3} \atop {9a-3b-5=10}} \right.$

$\left\{ {{16a+4b=5+3} \atop {9a-3b=5+10}} \right.$

$\left\{ {{16a+4b=8} \atop {9a-3b=15}} \right.$

$\left\{ {{16a+4b=8}|:4 \atop {9a-3b=15}|:3} \right.$

$\left\{ {{4a+b=2} \atop {3a-b=5}} \right.$

Сложим:

$4a+b+3a-b=2+5$

$7a=7$

$a=7:7$

$a=1$

Подставим а=1 в уравнение 4a+b=2 и найдем b:

$4a+b=2$

$b=2-4$

$b=-2$

5) А теперь, узнав a=1;  b= -2;  c= -5, запишем уравнение данной параболы:

у = х² - 2х - 5

6)Найдем  координату х₀ вершины параболы по формуле:

$x_0=-\frac{b}{2a}$

$x_0=-\frac{-2}{2*1}=\frac{2}{2}=1$

$x_0=1$

Координату  вершины параболы y₀ найдём подстановкой х₀=1 в уравнение параболы у = х² - 2х - 5.

у₀=1²-2·1 - 5

у₀=1-2 - 5

у₀= -6

ответ: (1; −6) координаты  вершины параболы.