1) Выделяем полные квадраты:
для y: (y²+2*7y + 72) -1*72 = (y+7)²-49
Преобразуем исходное уравнение:
(y+7)² = 6x - 0
Получили уравнение параболы:
(y - y0)² = 2p(x - x0)
(y+7)² = 2*3(x - 0)
Ветви параболы направлены вправо, вершина расположена в точке (x0, y0), т.е. в точке (0;-7)
Параметр p = -3.
Координаты фокуса: F(-p/2; yo) = (-1,5; -7).
Уравнение директрисы: x = x0 - p/2
x = 0 - 3/2 = -3/2.
2) Выделяем полные квадраты:
для x: (x²-2*1x + 1) -1 = (x-1)²-1
для y: -4(y²+2*3y + 3²2) +4*3² = -4(y+3)²+36
В итоге получаем:
(x-1)²-4(y+3)² = -68
Разделим все выражение на -68
(-1/68)(x - 1)² + (1/17)(y + 3)² = 1.
Параметры кривой.
Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке:
C(1; -3)
и полуосями: a = 2√17, b =√17.
Найдем координаты ее фокусов: F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами
Определим параметр c: c² = a² + b² = 68 + 17 = 85
c = √85.
Тогда эксцентриситет будет равен: e = c/a = √85/2√17.
Асимптотами гиперболы будут прямые: y + 3 = (1/2)(x - 1) и
y + 3 = (-1/2)(x - 1).
Директрисами гиперболы будут прямые: +-е/а = +-(√68/√85).
В решении.
Объяснение:
Формула координат вершины параболы:
х₀ = -b/2a
y₀ = (4ac - b²)/4a, или просто подставить вычисленное значение х₀ в уравнение функции и вычислить значение у₀.
1) у = х² -10х + 20
х₀ = -b/2a
х₀ = 10/2
х₀ = 5;
у₀ = 5² - 10*5 + 20 = 25 - 50 + 20 = -5.
Координаты вершины параболы (5; -5). Ветви вверх.
2) y = -x² + 3x - 4
х₀ = -b/2a
х₀ = -3/-2
х₀ = 1,5;
у₀ = -(1,5)² + 3*1,5 - 4 = -2,25 + 4,5 - 4 = -1,75.
Координаты вершины параболы (1,5; -1,75). Ветви вниз.
3) у= -х² + 6х - 7
х₀ = -b/2a
х₀ = -6/-2
х₀ = 3;
у₀ = -(3)² + 6*3 - 7 = -9 + 18 - 7 = 2.
Координаты вершины параболы (3; 2). Ветви вниз.
4) у = 3х² - 6х + 1
х₀ = -b/2a
х₀ = 6/6
х₀ = 1;
у₀ = 3*1² - 6*1 + 1 = 3 - 6 + 1 = -2.
Координаты вершины параболы (1; -2). Ветви вверх.
5) у = -0,2х² + 4х
х₀ = -b/2a
х₀ = -4/-0,4
х₀ = 10;
у₀ = -0,2*10² + 4*10 = -0,2*100 + 40 = -20 + 40 = 20.
Координаты вершины параболы (10; 20). Ветви вниз.