Question

Найдите значение параметра w, при котором сумма квадратов различных корней уравнения x²+2wx+3=0 меньше 30

Answer 1

Для решения данного уравнения нам нужно найти значения параметра w, при которых сумма квадратов различных корней данного уравнения будет меньше 30.

Сначала обратимся к дискриминанту уравнения x²+2wx+3=0, который определяется по формуле D = b² - 4ac:

D = (2w)² - 4(1)(3) = 4w² - 12

Так как нам дано, что сумма квадратов различных корней меньше 30, то можно записать это в виде неравенства:

x₁² + x₂² < 30

Так как у нас есть уравнение x²+2wx+3=0, то мы можем выразить квадраты корней через дискриминант:

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂

Зная, что сумма корней равна -2w (по свойствам уравнения), мы можем подставить это значение в выражение для суммы квадратов корней:

(-2w)² - 2x₁x₂ < 30

Упрощаем это выражение:

4w² - 2x₁x₂ < 30

Так как у нас есть уравнение x²+2wx+3=0, мы можем использовать формулу Виета для выражения x₁x₂ через a, b и c:

x₁x₂ = c/a = 3/1 = 3

Заменяем это значение в неравенство:

4w² - 2(3) < 30

Упрощаем выражение:

4w² - 6 < 30

Далее, выразим w²:

4w² < 36

w² < 9

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих частей неравенства:

|w| < 3

Таким образом, значение параметра w должно быть в пределах от -3 до 3, чтобы сумма квадратов различных корней уравнения x²+2wx+3=0 была меньше 30.