Question

1. решить уравнение2√2sin(x+pi/3)+2cos^2x=√6cosx+22. указать корни на отрезке [-3pi; -3pi/2]

Answer 1

Для решения данного уравнения применим следующие шаги:

1. Разложим косинус в выражении 2cos^2x:
2cos^2x = 2(1 - sin^2x), где sin^2x = 1 - cos^2x

Теперь заменим в исходном уравнении данное выражение:

2√2sin(x+pi/3) + 2(1 - sin^2x) = √6cosx + 2

2. Упростим выражение в левой части уравнения:

2√2sin(x+pi/3) + 2 - 2sin^2x = √6cosx + 2

3. Проведем необходимые преобразования:

2 - 2sin^2x = √6cosx + 2 - 2√2sin(x+pi/3)

4. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

-2sin^2x - √6cosx + 2√2sin(x+pi/3) = 0

5. Приведем подобные слагаемые и заменим sin(x+pi/3) на sinxcos(pi/3) + sin(pi/3) с учетом формулы синуса суммы:

-2sin^2x - √6cosx + 2√2(sinxcos(pi/3) + sin(pi/3)) = 0

6. Преобразуем выражение:

-2sin^2x - √6cosx + 2√2sinxcos(pi/3) + 2√2sin(pi/3) = 0

7. Сгруппируем слагаемые:

-2sin^2x + 2√2sinxcos(pi/3) - √6cosx + 2√2sin(pi/3) = 0

8. Разложим cos(pi/3) и sin(pi/3):

cos(pi/3) = 1/2
sin(pi/3) = √3/2

Подставим значения:

-2sin^2x + 2√2sinxcos(pi/3) - √6cosx + √6√2/2 = 0

9. Умножим все слагаемые на -1 для удобства:

2sin^2x - 2√2sinxcos(pi/3) + √6cosx - √6√2/2 = 0

10. Преобразуем уравнение:

2sin^2x - 2√2sinxcos(pi/3) + √6cosx - √6/√2 = 0

11. Разделим все слагаемые на 2:

sin^2x - √2sinxcos(pi/3) + 1/2√3cosx - 1/√2 = 0

12. Применим формулу синуса двойного угла для cos(pi/3):

cos(pi/3) = 1/2

Подставим в уравнение:

sin^2x - √2sinxcos(pi/3) + 1/2√3cosx - 1/√2 = 0

sin^2x - √2sinx(1/2) + 1/2√3cosx - 1/√2 = 0

13. Разделим уравнение на sinx:

sinx - √2(1/2)sinx + 1/2√3(cosx/sinx) - 1/√2 = 0

sinx - √2/2sinx + 1/2√3cotx - 1/√2 = 0

14. Заменим cotx на 1/tanx:

sinx - √2/2sinx + 1/2√3(1/tanx) - 1/√2 = 0

15. Приведем подобные слагаемые:

sinx(1 - √2/2) + 1/2√3(1/tanx) - 1/√2 = 0

16. Упростим выражение:

sinx(2 - √2)/2 + (1/2√3 - 1/√2)(1/tanx) = 0

17. Преобразуем выражение для tanx:

(1/2√3 - 1/√2)(1/tanx) = (1/2√3 - √2/2√3)(1/tanx) = (2 - 3√2)/(2√2)

Подставим данное выражение:

sinx(2 - √2)/2 + (2 - 3√2)/(2√2) = 0

18. Умножим обе части уравнения на 2:

sinx(2 - √2) + (2 - 3√2)/√2 = 0

19. Умножим каждое слагаемое на √2, чтобы избавиться от знаменателя:

√2sinx(2 - √2) + (2 - 3√2) = 0

20. Раскроем скобки:

2√2sinx - 2sinx + 2 - 3√2 = 0

√2sinx - 3√2sinx + 2 - 3√2 = 0

21. Сгруппируем слагаемые синусов:

(sin - 3√2sinx) + (2 - 3√2) = 0

22. Вынесем sinx за скобки:

sinx(1 - 3√2) + (2 - 3√2) = 0

23. Раскроем скобки:

sinx - 3√2sinx + 2 - 3√2 = 0

24. Сгруппируем слагаемые:

sinx - 3√2sinx + (2 - 3√2) = 0

25. Заменим sinx на tanx/cosx:

tanx/cosx - 3√2tanx/cosx + (2 - 3√2) = 0

26. Умножим обе части уравнения на cosx, чтобы избавиться от знаменателя:

tanx - 3√2tanx + (2 - 3√2)cosx = 0

27. Перегруппируем слагаемые:

tanx + (2 - 3√2)cosx - 3√2tanx = 0

28. Применим формулу тангенса суммы углов:

tanx + (2 - 3√2)cosx - 3√2tanx = 0

(1 - 3√2)tanx + (2 - 3√2)cosx = 0

29. Выражаем tanx через cosx:

(1 - 3√2)sinx/cosx + (2 - 3√2)cosx = 0

30. Приводим подобные слагаемые:

[(1 - 3√2)sinx + (2 - 3√2)cosx]/cosx = 0

31. Применяем формулу тригонометрического равенства:

√[(1 - 3√2)^2 + (2 - 3√2)^2] = √[1 - 6√2 + 18 + 4 - 12√2 + 18]

= √[23 - 18√2 + 22 - 12√2] = √[45 - 30√2]

Теперь у нас есть корень √[45 - 30√2]

32. Проверим значения на отрезке [-3pi; -3pi/2]:

Заменим x на -3pi и вычислим выражение √[45 - 30√2]:

√[45 - 30√2] = √[45 - 30√2] = 6 - 6√2

Заменим x на -3pi/2 и вычислим выражение √[45 - 30√2]:

√[45 - 30√2] = √[45 - 30√2] = 6 - 6√2

Корни на отрезке [-3pi; -3pi/2] равны 6 - 6√2.

Таким образом, корни уравнения на данном отрезке равны 6 - 6√2.