![x^3+3x+2\sqrt[3]{x-4} -34=0](/tpl/images/1360/1028/6c477.png)
Запишем уравнение в виде:
![x^3+3x -34=-2\sqrt[3]{x-4}](/tpl/images/1360/1028/bd4bd.png)
Пусть левая и правая часть равны у. Тогда получим систему:
![\begin{cases} y=x^3+3x -34\\y=-2\sqrt[3]{x-4}\end{cases}](/tpl/images/1360/1028/c1e6e.png)
Рассмотрим каждое уравнение как функцию.
- возрастающая функция, так как это кубическая парабола с положительным старшим коэффициентом
![y=-2\sqrt[3]{x-4}](/tpl/images/1360/1028/0df79.png)
- убывающая функция, так как корень нечетной степени имеет сомножителем отрицательное число
Графически возрастающая и убывающая функция могут пересекаться не более чем в одной точке.
В данном случае, понимая, что и область определения и область значений каждой функции представляют собой все действительные числа можно сказать, что такое пересечение обязательно произойдет.
Таким образом, если найден некоторый корень этого уравнения, то других корней у уравнения нет.
Подберем корень. Удобно начать проверку с "красивых значений". Например, будем выбирать х так, чтобы под знаком корня получался куб некоторого целого числа.
Пусть ![\sqrt[3]{x-4} =\sqrt[3]{0}](/tpl/images/1360/1028/d91f8.png)
, то есть 
. Проверим, является ли это число корнем:
![4^3+3\cdot4+2\sqrt[3]{4-4} -34=64+12+2\cdot0-34=42\neq 0](/tpl/images/1360/1028/6e40b.png)
- не корень
Пусть ![\sqrt[3]{x-4} =\sqrt[3]{1}](/tpl/images/1360/1028/7bd4a.png)
, то есть 
. Проверим, является ли это число корнем:
![5^3+3\cdot5+2\sqrt[3]{5-4} -34=125+15+2\cdot1-34=108\neq 0](/tpl/images/1360/1028/f1f89.png)
- не корень
Пусть ![\sqrt[3]{x-4} =\sqrt[3]{-1}](/tpl/images/1360/1028/4572f.png)
, то есть 
. Проверим, является ли это число корнем:
![3^3+3\cdot3+2\sqrt[3]{3-4} -34=27+9+2\cdot(-1)-34=0](/tpl/images/1360/1028/fd423.png)
- корень
Таким образом, уравнение имеет единственный корень
ответ: 3
Строишь графики функций y = x² и y = x + 5, но в системе координат с дополнительной осью O
Построил? Теперь смотришь на знаки. Если на каком-то отрезке оси Ох знаки функции одинаковы, т.е. их графики одновременно или выше, или ниже оси Ох, то нужное нам произведение больше нуля, если находятся по разные стороны от оси Ох, то оно меньше нуля.
Т.е. в нашем случае ответ будет x ∈ (-бесконечности; -1], или x ≤ -1