Question

Решить, ! радиусы оснований усечённого конуса равны 4 см и 9 см, а угол между образующей и плоскостью основания равен 60° . вычислите площадь поверхности и объём усечённого конуса.

Answer 1

Для решения данной задачи нам понадобится использовать формулы площади поверхности и объема усеченного конуса.

Формула для площади поверхности усеченного конуса:
S = π(R + r)l,
где S - площадь поверхности усеченного конуса,
R - радиус большего основания,
r - радиус меньшего основания,
l - образующая конуса.

Формула для объема усеченного конуса:
V = (1/3)πh(R^2 + Rr + r^2),
где V - объем усеченного конуса,
h - высота конуса.

1. Площадь поверхности усеченного конуса:
Для начала вычислим образующую l с помощью теоремы косинусов в треугольнике, образованном радиусами оснований и образующей:
l = sqrt(R^2 + r^2 - 2*R*r*cos(60°)),
где sqrt - корень квадратный,
cos(60°) = 0.5 (значение косинуса угла 60°).

Подставляем значения радиусов оснований в формулу:
l = sqrt(4^2 + 9^2 - 2*4*9*0.5).
l = sqrt(16 + 81 - 72).
l = sqrt(25).
l = 5 см.

Теперь, исходя из формулы площади поверхности усеченного конуса, подставляем известные значения:
S = π(4 + 9)*5.
S = π*13*5.
S = 65π см^2 (ответ).

2. Объем усеченного конуса:
Для начала вычислим высоту конуса h с помощью теоремы Пифагора в треугольнике, образованном образующей, радиусом большего основания и высотой:
h = sqrt(l^2 - (R - r)^2).

Подставляем значения образующей и разности радиусов оснований в формулу:
h = sqrt(5^2 - (9 - 4)^2).
h = sqrt(25 - 25).
h = sqrt(0).
h = 0 см.

Теперь, исходя из формулы объема усеченного конуса, подставляем известные значения:
V = (1/3)π*0*(4^2 + 4*9 + 9^2).
V = 0 (ответ).

Таким образом, площадь поверхности усеченного конуса равна 65π см^2, а объем усеченного конуса равен 0.