6
Объяснение:
Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться китайской теоремой об остатках. Согласно теореме, если у нас есть система уравнений вида:
x ≡ a (mod m)
x ≡ b (mod n)
x ≡ c (mod p)
где m, n и p - попарно взаимно простые числа, а a, b и c - соответствующие остатки, то существует решение, которое можно найти с расширенного алгоритма Евклида.
В данной задаче у нас следующие условия:
x ≡ 2 (mod 4)
x ≡ 1 (mod 7)
x ≡ 6 (mod 11)
Используя расширенный алгоритм Евклида, получим:
Для уравнений x ≡ 2 (mod 4) и x ≡ 1 (mod 7):
Найдем наибольший общий делитель(НОД) 4 и 7:
7 = 1 * 4 + 3
4 = 1 * 3 + 1
3 = 3 * 1 + 0
Наш НОД равен 1, поэтому числа 4 и 7 взаимно простые.
Для уравнений x ≡ 2 (mod 4) и x ≡ 1 (mod 7):
Используя расширенный алгоритм Евклида, найдем коэффициенты:
4 * 1 + 7 * (-1) = 1
Подставляем полученные коэффициенты:
2 * 7 * (-1) + 1 * 4 * 1 = -14 + 4 = -10 ≡ 2 (mod 28)
Теперь рассмотрим следующую пару уравнений x ≡ -10 (mod 28) и x ≡ 6 (mod 11):
Найдем НОД(28, 11):
28 = 2 * 11 + 6
11 = 1 * 6 + 5
6 = 1 * 5 + 1
5 = 5 * 1 + 0
Наш НОД равен 1, поэтому числа 28 и 11 взаимно простые.
Используя расширенный алгоритм Евклида, найдем коэффициенты:
28 * (-1) + 11 * 3 = 1
Подставляем полученные коэффициенты:
-10 * 11 * 3 + 6 * 28 * (-1) = -330 + (-168) = -498 ≡ 6 (mod 308)
Таким образом, число, которое удовлетворяет всем условиям задачи, это 6
а) Перепишем рівняння у вигляді (x²)² + 8x² - 9 = 0. Позначимо змінну x² = t. Отримаємо квадратне рівняння t² + 8t - 9 = 0. Розв'язуємо його за до формули коренів квадратного рівняння: t₁,₂ = (-8 ± √(8² + 4·1·9)) / (2·1) = (-8 ± √100) / 2 = -4 ± 5. Таким чином, маємо два значення t₁ = 1 та t₂ = -9. Повертаємось до змінної x²: x²₁ = 1, x²₂ = -9. Оскільки квадрат не може бути від'ємним числом, то розв'язками рівняння є x₁ = 1 та x₂ = -1.
б) Перепишемо рівняння у вигляді x√x + 7√x - 30 = 0. Позначимо змінну √x = t. Отримаємо квадратне рівняння t² + 7t - 30 = 0. Розв'язуємо його за до формули коренів квадратного рівняння: t₁,₂ = (-7 ± √(7² + 4·1·30)) / (2·1) = (-7 ± √169) / 2 = -3 або 10. Таким чином, маємо два значення √x₁ = -3 та √x₂ = 10. Оскільки корінь не може бути від'ємним числом, то розв'язком рівняння є x = 100.
в) Розкриваємо модуль: 2x - 9|x - 3| = 36|x + 3| або 2x - 9|x - 3| = -36|x + 3|. Розглянемо обидва випадки.
1) 2x - 9(x - 3) = 36(x + 3). Розв'язуємо це рівняння: 2x - 9x + 27 = 36x + 108, звідки x = -5.
2) 2x - 9(x - 3) = -36(x + 3). Розв'язуємо це рівняння: 2x - 9x + 27 = -36x - 108, звідки x = -3.
Отже, розв'язками рівняння є x₁ = -5 та x₂ = -3.