Question

Найдите числа m и n такие,чтобы выполнялось равенство: 6/(а²-8а+7)=м/(а-1)+n/(а-7)

Answer 1

$\frac{6}{a^2-8a+7}=\frac{6}{(a-1)(a-7)}=\frac{M}{a-1}+\frac{N}{a-7}=\frac{M(a-7)+N(a-1)}{(a-1)(a-7)}\; \; \Rightarrow \\\\6=M(a-7)+N(a-1)\\\\6=Ma-7M+Na-N\\\\6=(M+N)\, a+(-7M-N)\; \; \Rightarrow \; \; \\\\\underline {0}\cdot a^1+\underline {\underline {6}}\cdot a^0=(\underline {M+N})\cdot a^1+(\underline {\underline {-7M-N}})\cdot a^0$

Многочлены равны , когда равны коэффициенты перед одинаковыми степенями многочленов. Приравняем коэффициенты перед одинаковыми степенями:

$a^1\; |\; M+N=0\\a^0\; |\; -7M-N=6\\\\\\N=-M\; \; ,\; \; -7M+M=6\; \; \to \; \; -6M=6\; \; ,\; \; M=-1\; ,\\\\N=-M=1\\\\\\\frac{6}{a^2-8a+7}=\frac{-1}{a-1}+\frac{1}{a-7}$

$P.S.\; \; a^2-8a+7=0\; \; \to \; \; a_1=1\; ,\; a_2=7\; \; (teorema\; Vieta)\; \; \to \\\\a^2-8a+7=(a-1)(a-7)$