Question

На столе лежат фишки пронумерованные от 1 до 55. можно ли разложить их на 13 кучек так ,чтобы в каждой группе произведение чисел на фишках делилось на 9?

, решитее ​

Answer 1

Решение:

Сначала рассмотрим произведение всех натуральных чисел от 1 до 55 включительно. Найдем степень девятки в этом произведении.

Во-первых, у нас есть 6 чисел, нацело делящихся на 9:  

9, 18, 27, 36, 45, 54.

А во-вторых, 12 чисел - делящихся на 3, но не делящихся на 9. Каждая пара таких чисел (а всего пар 6) дает вклад размером в одну девятку при делимости на девять:

3, 6, 12, 15, 21, 24, 30, 33, 39, 42, 48, 51.

Следовательно, максимальная степень девятки в рассматриваемом произведении равна 6 + 6 = 12.

Отсюда следует, что мы не никак не сможем расфасовать фишки по 13 кучкам, так, чтобы произведение чисел в каждой кучке делилось на 9. Хотя бы, по принципу Дирихле (нельзя посадить 12 кроликов в 13 клеток так, чтобы в каждой клетке было хотя бы по одному кролику).

ответ: нет.

Answer 2

Невозможно

Объяснение:

Определим количество 3 в произведении чисел 1·2·3·...·55=55! следующим образом:

$\tt \displaystyle [\frac{55}{3} ]+[\frac{55}{9} ]+[\frac{55}{27} ]+[\frac{55}{81} ]=18+6+2=26.$

Значит, 1·2·3·...·55=3²⁶·k, где k не делится на 3.

Так как следующие 2 числа, которые делятся на 9, представимы в виде

27=3³ и 54=2·3³,

то 1·2·3·...·55 представимо в виде

1·2·3·...·55=3²⁰·27·54·k.

Но 3²⁰=9¹⁰ означает, что кроме 27 и 54 можно получить всего 10 делящийся на 9 числа. То есть, ровно 12 групп в произведении чисел делящийся на 9 числа.