ответ:
исследовать функцию y=-x^4+8x^2-9 и построить ее график.
решение:
1. область определения функции - вся числовая ось.
2. функция y=-x^4+8x^2-9 непрерывна на всей области определения. точек разрыва нет.
3. четность, нечетность, периодичность:
так как переменная имеет чётные показатели степени, то функция чётная, непериодическая.
4. точки пересечения с осями координат:
ox: y=0, -x^4+8x^2-9=0, заменим x^2 = n.
квадратное уравнение, решаем относительно n:
ищем дискриминант:
d=8^2-4*(-1)*(-9)=64-4*(-1)*(-9)=64-(-4)*(-9)=64-(-4*(-9))=64-(-(-4*9))=64-(-(-36))=64-36=28;
дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
n₁=(√28-8)/(2*(-1)) = (√28-8)/(-2) = -(2√7/2-8/2)= 4 -√7 ≈ 1,354249;
n₂ = (-√28-8)/(2*(-1)) = (-2√7-8)/(-2)= 4 + √7 ≈ 6,645751.
обратная замена: х = √n.
x₁ = √1,354249 = 1,163722, x₂ = -1,163722.
x₃ = √6,645751 = 2,57793, x₄ = -2,577935.
получаем 4 точки пересечения с осью ох:
(1,163722; 0), (-1,16372; 0), (2,57793; 0), (-2,57793; 0).
x₃ = √6,645751 = 2,57793,
oy: x = 0 ⇒ y = -9. значит (0; -9) - точка пересечения с осью oy.
5. промежутки монотонности и точки экстремума:
y=-x^4+8x^2-9.
y'=0 ⇒-4x³+16x = 0 ⇒ -4x(x²-4) = 0.
имеем 3 критические точки: х = 0, х = 2 и х = -2.
определяем знаки производной вблизи критических точек.
x = -3 -2 -1 0 1 2 3
y' = 60 0 -12 0 12 0 -60.
где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
минимум функции в точке: x = 0.
максимумы функции в точках:
x = -2.
x = 2.
убывает на промежутках (-2, 0] u [2, +oo).
возрастает на промежутках (-oo, -2] u [0, 2).
6. вычисление второй производной: y''=-12х² + 16 ,
найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
вторая производная 4 \left(- 3 x^{2} + 4\right) = 0.
решаем это уравнение
корни этого уравнения
x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}.
x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}.
7. интервалы выпуклости и вогнутости:
найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
вогнутая на промежутках [-2*sqrt(3)/3, 2*sqrt(3)/3]
выпуклая на промежутках (-oo, -2*sqrt(3)/3] u [2*sqrt(3)/3, oo)
В перекрёстке дешевле, 1 кг чищенного картофеля обойдётся в 20 рублей, в пятёрочке - в 21 рубль.
Объяснение:
С учётом 30% скидки кг картофеля в пятёрочке стоит 12,6 рублей:
18*(1-0,3) = 18*0,7 = 1 2,6 рублей
Но при чистке картофеля из пятёрочки мы теряем 40%, и у нас остаётся 600 гр очищенного картофеля от 1 кг:
1 кг = 1000 гр
1000*(1-0,4) = 1000*0,6 = 600 гр
В то время, как при чистке картофеля из перекрёстка мы теряем 10%, и у нас остаётся 900 гр чищенного картофеля от 1 кг:
1000*(1-0,1) = 1000*0,9 = 900 гр
Значит чищенный картофель из пятёрочки стоит 2,1 рубль за 100 гр:
12,6 : 6 = 2,1 рубль
А чищенный картофель из перекрёстка стоит 2 рубля за 100 гр:
18:9 = 2 рубля
Уже на этом моменте мы можем наблюдать, что чищенный картофель из перекрёстка дешевле.
В итоге мы получаем, что чищенный картофель из пятёрочки стоит 21 рубль за 1 кг:
2,1*10 = 21 рубль
А чищенный картофель из перекрёстка стоит 20 рублей за 1 кг:
2*10 = 20 рублей
Надеюсь я вам Конечно, сначала задачка немного шокировала)
Хорошего вам дня!
1)х∈(-2, 3)∪(4, +∞)
2)х∈(-4, 8)
3)х∈(-3, -2/3)∪(2/3, 3)
Объяснение:
1) (4-х)(х+2)(х-3) > 0;
х+2=0
х₁= -2
х-3=0
х₂=3
4-х=0
-х= -4
х₃=4
Отмечаем найденные точки на числовой оси и определяем знаки на каждом интервале.
Решения неравенства: х∈(-2, 3)∪(4, +∞), то есть, находятся на отрезке от -2 до 3 и на отрезке от 4 до + бесконечности.
2) (x²+4)(х-8)(4+х) < 0;
а)4+х=0
х₁= -4
б)х-8=0
х₂=8
в)х²+4=0
х²= -4, корней нет, НО:
так как а (коэффициент при х) =1, то есть, >0, то х²+4 > 0 при любых значениях х.
Отмечаем найденные точки на числовой оси и определяем знаки на каждом интервале.
Решения неравенства: х∈(-4, 8), то есть, находятся на отрезке от -4 до 8.
3) (9x²-4)(9-x²)(7x²+2) > 0
а)9x²-4=0
9х²=4
х²=4/9
х₁,₂=±√4/9=±2/3
б)9-х²=0
-х²= -9
х²=9
х₁,₂=±√9=±3
в)7x²+2=0
7х²= -2
х²= -2/7 корней нет, НО:
так как а (коэффициент при х) =7, то есть, >0, то 7х²+2 > 0 при любых значениях х.
Расположим значения х по возрастающей, отметим найденные точки на числовой оси и определим знаки на каждом интервале:
х₁= -3 х₂= -2/3 х₃=2/3 х₄=3
Решения неравенства х∈(-3, -2/3)∪(2/3, 3), то есть, находятся на отрезке от -3 до -2/3 и на отрезке от 2/3 до 3,
--------------- -1------------------1----------------------
+ - +
y(-1) max = 7 y(1) min =-1
x=0 y=3