1 In a month I will have been jogging with my mum for a year.
В данном предложении подходит время Future Perfect Continuous, так как здесь говорится о процессе, который будет происходить в течении определённого времени в будущем, причём акцент делается именно на процессе.
2 I will have been writing this essay for two weeks by the time I hand it in.
Такая же ситуация, как в первом предложении.
3 Luke will call you back in twenty minutes.
В данном предложении уместно использовать Future Simple, так как в предложении говорится о том, что произойдёт в будущем, факт.
4 If you’re going to the cinema, I will come with you.
В данном предложении уместно использовать Future Simple, так как это условное предложение первого типа (First Conditional), в основной части которого может использоваться только Future Simple.
5 This time next week I will be travelling across Spain.
В данном предложении используется Future Continuous, так как оно указывает на процесс, который будет происходить в определённое время в будущем.
1. -You are going to do anything next weekend?
- Yes, my nephews are coming and I am going to show them round London.
- You are taking them to the theatre? (Have you booked seats?)
- No, they’re too young for that. I am going to take them to the zoo.
2. - We are starting early tomorrow. We are going to Ben Nevis.
- You are going to climb Ben Nevis?
- Not me. Tom is climbing it. I am going to sit at the bottom and do some sketching.
Насколько я знаю, going to употребляется при личном намерении что-то сделать, а Present Continuous, когда это намерение запланировано (договорённость с кем-либо или покупка билетов). Насчёт последнего предложения у меня сомнения, так что подумай.