Для ответа на этот вопрос, нам необходимо знать, что орбитальный период спутника определяется временем, за которое спутник совершает полный оборот вокруг Земли. Орбитальный период зависит от радиуса орбиты и массы планеты.
Пусть Р₁ и Р₂ - периоды первого и второго спутников соответственно.
Также пусть r₁ и r₂ - радиусы их орбит.
Из задачи нам известно, что Период Второго спутника (Р₂) равен 8 разам Периода Первого спутника (Р₁). То есть, Р₂ = 8*Р₁.
Мы также знаем, что период Первого спутника (Р₁) зависит от радиуса орбиты (r₁) и массы Земли (M) по следующему уравнению:
Р₁ = 2π√(r₁³/M)
Аналогично, период Второго спутника (Р₂) зависит от радиуса орбиты (r₂) и массы Земли (M):
Р₂ = 2π√(r₂³/M)
Мы хотим найти отношение радиусов орбит (r₂/r₁).
Для начала, установим соотношение между периодами Первого и Второго спутников (Р₁ и Р₂):
Р₂ = 8*Р₁
Поделим оба выражения на 2π√(M):
Р₂ / (2π√(M)) = 8*Р₁ / (2π√(M))
Теперь возьмем квадрат обоих выражений (чтобы избавиться от корня √(M)):
(Р₂ / (2π√(M)))² = (8*Р₁ / (2π√(M)))²
(Р₂² / (2π)²M) = (8*Р₁² / (2π)²M)
Поскольку мы хотим найти отношение радиусов орбит, то используем соотношение между периодом и радиусом:
Р² / r³ = константа (k)
Теперь перепишем наше уравнение, используя это соотношение:
(8*Р₁² / (2π)²M) = (Р₂² / r₂³)
Поскольку Р₂ = 8*Р₁:
(8*Р₁² / (2π)²M) = ((8*Р₁)² / r₂³)
Мы также хотим найти отношение радиусов орбит, поэтому поделим оба выражения:
Пусть Р₁ и Р₂ - периоды первого и второго спутников соответственно.
Также пусть r₁ и r₂ - радиусы их орбит.
Из задачи нам известно, что Период Второго спутника (Р₂) равен 8 разам Периода Первого спутника (Р₁). То есть, Р₂ = 8*Р₁.
Мы также знаем, что период Первого спутника (Р₁) зависит от радиуса орбиты (r₁) и массы Земли (M) по следующему уравнению:
Р₁ = 2π√(r₁³/M)
Аналогично, период Второго спутника (Р₂) зависит от радиуса орбиты (r₂) и массы Земли (M):
Р₂ = 2π√(r₂³/M)
Мы хотим найти отношение радиусов орбит (r₂/r₁).
Для начала, установим соотношение между периодами Первого и Второго спутников (Р₁ и Р₂):
Р₂ = 8*Р₁
Поделим оба выражения на 2π√(M):
Р₂ / (2π√(M)) = 8*Р₁ / (2π√(M))
Теперь возьмем квадрат обоих выражений (чтобы избавиться от корня √(M)):
(Р₂ / (2π√(M)))² = (8*Р₁ / (2π√(M)))²
(Р₂² / (2π)²M) = (8*Р₁² / (2π)²M)
Поскольку мы хотим найти отношение радиусов орбит, то используем соотношение между периодом и радиусом:
Р² / r³ = константа (k)
Теперь перепишем наше уравнение, используя это соотношение:
(8*Р₁² / (2π)²M) = (Р₂² / r₂³)
Поскольку Р₂ = 8*Р₁:
(8*Р₁² / (2π)²M) = ((8*Р₁)² / r₂³)
Мы также хотим найти отношение радиусов орбит, поэтому поделим оба выражения:
((8*Р₁)² / r₂³) / (8*Р₁² / (2π)²M) = (r₂³ / r₁³)
Упрощая:
((8*Р₁)² / r₂³) * ((2π)²M / (8*Р₁²)) = (r₂³ / r₁³)
Теперь упростим левую часть выражения:
((8*Р₁)*(2π)²M / r₂³) * (1 / (8*Р₁)) = (r₂³ / r₁³)
(2π)²M / r₂³ = (r₂³ / r₁³)
Чтобы продолжить упрощение, возьмем кубический корень от обеих частей:
∛((2π)²M / r₂³) = ∛(r₂³ / r₁³)
2π∛(M) / r₂ = r₂ / r₁
Теперь поменяем местами r₂ и r₁:
2π∛(M) / r₁ = r₁ / r₂
Умножим обе части на r₁:
2π∛(M) = (r₁² / r₂)
Теперь решим это уравнение относительно отношения радиусов (r₁/r₂):
(r₁² / r₂) = 2π∛(M)
r₁ / r₂ = √(2π∛(M))
Итак, отношение радиусов орбит равно корню квадратному из 2π∛(M).
В таком виде мы можем представить ответ школьнику!