тангенса суммы аргументов :
tg(α+β)=
tgα+tgβ
1−tgα⋅tgβ
(1)
тангенса разности аргументов :
tg(α−β)=
tgα−tgβ
1+tgα⋅tgβ
(2)
Оговорка о допустимых значениях аргументов означает, что все тангенсы имеют смысл, т.е. выполняются условия:
α≠
π
2
+πk,β≠
π
2
+πnk,n
∈ℤ
,
α+β≠
π
2
+πm,m∈ℤ
для формулы (1),
α−β≠
π
2
+πm,m∈ℤ
для формулы (2),
Эти формулы очень важны и широко применяются не только в математике, но и в физике - особенно, в радиотехнике.
Вывод формул естественным образом получается из определения функции тангенс и использования уже известных формул синуса и косинуса суммы и разности аргументов.
Докажем формулу тангенса суммы аргументов. Имеем:
tg(α+β)=
sin(α+β)
cos(α+β)
=
sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ
cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ
Разделим каждое из слагаемых числителя и знаменателя на
cosα⋅cosβ
,
учитывая, что значение дроби от этого не изменится и, что
cosα⋅cosβ≠0
из принятых выше условий
для допустимых значений аргументов, т.е.
α≠
π
2
+πk,β≠
π
2
+πnk,n
∈ℤ
. Тогда:
tg(α+β)=
sin(α+β)
cos(α+β)
=
sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ
cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ
=
sinα⋅cosβ
cosα⋅cosβ
+
cosα⋅sinβ
cosα⋅cosβ
cosα⋅cosβ
cosα⋅cosβ
−
sinα⋅sinβ
cosα⋅cosβ
=
tgα+tgβ
1−tgα⋅tgβ
,
что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается формула тангенса разности аргументов :
tg(α−β)=
sin(α−β)
cos(α−β)
=
sinα⋅cosβ−cosα⋅sinβ
cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ
=
sinα⋅cosβ
cosα⋅cosβ
−
cosα⋅sinβ
cosα⋅cosβ
cosα⋅cosβ
cosα⋅cosβ
+
sinα⋅sinβ
cosα⋅cosβ
=
tgα−tgβ
1+tgα⋅tgβ
.
Основных отличий Ренессанса от Средневековья (которые, в общем-то, конец Средневековья собой и знаменуют) можно выделить три.
1) Разложение феодализма на всех уровнях: то есть политический переход к абсолютизму (во Франции и Англии уже в XVI веке вполне оформляется), новые экономические отношения и социальные отношения — развитие "третьего сословия" и его постепенный выход на первый план во многих регионах Европы. Это прослеживается даже в военной сфере: происходит закат рыцарства, неразрывно связанно с формированием феодальных отношений ранее.
2) Снижение роли церкви к связанных с религией областях жизни — что прежде всего включает Реформацию и итоги Тридцатилетней войны, конечно, но в целом процесс ещё более комплексный. Я придерживаюсь мнения, что именно глубокое влияние Ватикана на всех сферы жизни Европы является вообще главной отличительной характеристикой Средневековья. Ослабевать это влияние стало именно в эпоху Возрождение, а его полное исчезновение в середине XVII века — собственно, старт следующей эпохи, Нового Времени.
3) Формирование гуманизма как системы мышления. Это не тот гуманизм, что сейчас — это сама концепция того, что в центре у нас теперь стоит не Бог, а человек. Его развитие, его познание, его добродетели, пороки и потребности. Это кардинально отличается от типичного средневекового мышления, прямо связанного с христианской идеей бренности земной жизни и души как главной её задачи. Именно у эпоху Возрождения люди по-настоящему обратили внимание на самих себя, что и дало возможность добиться таких изменений в искусстве, например — хотя на самом деле во всех сферах, просто в этой нагляднее. При этом надо отметить, что гуманизм сам по себе не содержал противопоставления христианству, т.е. это не какая-то борьба за атеизм — это смена акцентов.
