Решение. При пересечении двух прямых образуются четыре неразвернутых угла, которые на рисунке 22 обозначены цифрами 1, 2, 3 и 4.
а) Так как сумма двух из этих углов равна 114°, то они не могут быть смежными, а значит, эти углы — вертикальные, например, углы 1 и 3.
По свойству вертикальных углов Zl = Z3, поэтому Zl = Z3 = = 114° :2 = 57°.
Углы 2 и 1 смежные, следовательно, Zl + Z2 = 180°, откуда Z2 = = 180° -57° = 123°.
По свойству вертикальных углов Z4 = Z2, поэтому Z4 = 123°.
б) Пусть, например, Zl + Z2 + Z3 = 220°. Так как углы 1 и 2 смежные, то Zl + Z2 = 180° и, следовательно, Z3 = 220° - 180° = 40°.
Z3 + Z2 = 180°, откуда Z2 = 180° - 40° = 140°.
Zl = Z3 = 40°, Z4 = Z2 = 140°. Ответ, а) 57°, 123°, 57°, 123°; б) 40°, 140°, 40°, 140°.
Решение. Задача будет решена, если мы докажем, что угол ABD развернутый. Предположим, что это не так. Пусть ВМ и BN — биссектрисы углов ABC и CBD. По условию ZMBN = 90°. Возможны два случая.
а) Луч ВС проходит внутри угла ABD и поэтому делит этот угол на два угла: ABC и CBD (рис.37, а). Тогда
ZABC + ZCBD = ZABD,
или
(Zl + Z2) + (Z3 + Z4) = ZABD (см. рис. 37, а).
Но Zl = Z2, Z3 = Z4 и ZABD < 180°, следовательно,
2Z2 + 2Z3 < 180°, или ZMBN = Z2 + Z3 < 90°.
Это неравенство противоречит условию задачи.
б) Луч ВС лежит во внешней области угла ABD (рис. 37, б). В этом случае ZABC + ZCBD > 180°, поэтому (Zl + Z2) + (Z3 + Z4) > > 180°. Так как Zl = Z2 и Z3 = Z4, то ZMBN = Z2 + Z3 > 90°. Это неравенство также противоречит условию задачи.
Таким образом, угол ABD — развернутый и, следовательно, точки А, В и D лежат на одной прямой.