Question

Пусть РАВС — правильный тетраэдр с ребром 2, точка О — центр грани ABC. Вычислите: а) РО; б) расстояние от О

Answer 1

решение задания по геометрии
 

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о правильном тетраэдре и его свойствах.

Введем обозначения: пусть точка D – центр основания ACD, а точка E – центр основания ABE.

Из свойств правильного тетраэдра известно, что точка О, являющаяся центром грани ABC, находится на одной трети от высоты тетраэдра, опущенной из его вершины A. Поэтому расстояние от точки О до грани ABC будет равно 1/3 от высоты тетраэдра.

а) Найдем РО. Для этого рассмотрим прямую ОD, проведенную из точки О до середины ребра AC. В правильном тетраэдре середина ребра AC совпадает с центром основания ACD (точка D), поэтому РО будет равно половине длины ребра OD.

Так как ребро ОD является медианой треугольника ОAC, то по теореме Шеппарда, длина ребра ОD равна половине разности длин медиан треугольника ОAC и треугольника ABC.

Медиана треугольника ОAC проходит через точку О и центр грани ABC, которая также является вершиной правильного тетраэдра PABC, а значит, данная медиана будет иметь длину, равную половине длины диагонали грани ABC.

Таким образом, ребро ОD будет равно половине разности радиусов вписанных в грани ABC и грани ОAC шаров.

Зная, что высота тетраэдра равна √2 (так как это половина диагонали грани ABC), а радиус вписанной сферы в правильный тетраэдр равен 1/3 радиуса описанной сферы, можем вычислить радиус вписанной в грань ABC сферы по формуле: r_ABC = (1/3) * (2/√3) = 2/3√3.

Радиус вписанной в грань ОAC сферы будет равен 1/3 радиуса описанной сферы, то есть r_OAC = (1/3) * (2/√3) = 2/3√3.

Итак, ребро ОD равно половине разности радиусов вписанных в грани ABC и грани ОAC шаров:

OD = 1/2 * (r_ABC - r_OAC) = 1/2 * ((2/3√3) - (2/3√3)) = 0.

Таким образом, РО = 1/2 * OD = 1/2 * 0 = 0.

Ответ: РО = 0.

б) Так как мы установили, что точка О находится на одной трети от высоты тетраэдра, опущенной из его вершины A, то расстояние от точки О до грани ABC будет равно 1/3 от высоты тетраэдра.

Высота тетраэдра H можно найти, используя теорему Пифагора: H^2 = BC^2 - BO^2.

Ребро тетраэдра РАВС равно 2, поэтому сторона грани ABC будет равна диаметру вписанной в грань ABC окружности, то есть AC = 2r_ABC = 2*(2/3√3) = 4/3√3.

Так как О – центр грани ABC, то BO будет равно половине диагонали грани ABC, то есть BO = 1/2 √2 * AC = 1/2 √2 * (4/3√3) = 2/3√6.

Теперь можем вычислить высоту тетраэдра: H^2 = (4/3√3)^2 - (2/3√6)^2 = (16/9 * 3) - (4/9 * 6) = 48/9 - 24/9 = 24/9 = 8/3.

Корень квадратный из 8/3 равен √(8/3) = √8 / √3 = 2√2 / √3 = 2√6 / 3.

Итак, расстояние от точки О до грани ABC равно 1/3 от высоты тетраэдра:

Расстояние от О = 1/3 * H = 1/3 * (2√6 / 3) = (2√6 / 3) / 3 = 2√6 / 9.

Ответ: Расстояние от О = 2√6 / 9.