Для доказательства данного утверждения, что векторы а{x₁; y₁} и b{x₂; y₂} коллинеарны тогда и только тогда, когда x₁y₂ = x₂y₁, мы можем использовать следующий метод:
1. Предположим, что векторы а и b коллинеарны.
Коллинеарные векторы имеют одно и то же направление или противоположное направление. То есть, если вектор а и вектор b коллинеарны, то можно выразить их отношение в виде:
a = kb,
где k - некоторая константа.
Подставим значения координат в эту формулу и получим:
x₁ = kx₂,
y₁ = ky₂.
2. Рассмотрим выражение x₁y₂ - x₂y₁.
x₁y₂ - x₂y₁ = kx₂y₂ - x₂ky₂ = 0.
Таким образом, получается, что x₁y₂ = x₂y₁.
Таким образом, мы доказали, что если векторы а и b коллинеарны, то x₁y₂ = x₂y₁.
3. Предположим, что x₁y₂ = x₂y₁.
Для доказательства обратного утверждения, мы предлагаем воспользоваться противоположным подходом.
Предположим, что x₁y₂ = x₂y₁.
Мы можем выразить k следующим образом:
k = x₁ / x₂ = y₁ / y₂.
То есть, отношение координат x и y вектора а к соответствующим координатам вектора b является постоянным значением k.
Таким образом, мы можем выразить вектор a через вектор b:
a = kb.
Таким образом, получается, что векторы а и b коллинеарны.
4. Заключение.
Мы доказали, что векторы а{x₁; y₁} и b{x₂; y₂} коллинеарны тогда и только тогда, когда x₁y₂ = x₂y₁.
Данное доказательство основано на свойствах коллинеарных векторов и математической операции умножения координат векторов.
Такое развернутое и пошаговое объяснение должно помочь школьнику понять доказательство данного утверждения.
решение задания по геометрии
