Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то∠B=90º-∠A=90º-30º=60º.Построим треугольник ADC, равный треугольнику ABC.В нем ∠D=∠B=60º и ∠CAD=∠CAB=30º ( по построению).Отсюда, ∠BAD=∠CAD+∠CAB=60º.Следовательно, в треугольнике ABD все углы равны:∠BAD=∠D=∠B=60º.Значит, треугольник ABC — равносторонний, и все его стороны равны: AB=AD=BD.BC=DC (по построению), поэтому BC = 1/2BD = 1/2AB Что и требовалось доказать.
Присоединить Казанское ханство к Российскому царству нужно было, во-первых, чтобы прекратить набеги из этого государства, а во вторых, чтобы овладеть прибыльной торговлей по Волге (для последнего нужно было присоединить и Астраханское ханство).
Русские войска дважды ходили на Казань, но неудачно, потому что не удавалось их снабжать в походе, как следует.
Потому третий поход начали готовить заранее. В 1551 году в устье реки Свияги была построена крепость Свияжск. Благодаря ней удалось контролировать Волгу вплоть до этой крепости. А Свияжск стоял всего в 25 км от Казани. Теперь проблема снабжения оказывалась решена.
В 1552 году для похода на Казань было собрано 150-тысячное войско. Оно окружило город со всех стороны. Был построен гуляй-город – осадная башня, которая могла передвигаться. Под таким прикрытием русские пушки обстреливали крепость. Но главную надежду возлагали на подкопы, которые подводили под стены. Когда всё было готово, в подкопы заложили бочки с порохом.
Штурм начался 2 октября 1552 году. Бочки пороха в подкопах взорвались и обрушили стену сразу в нескольких местах. Русские ратники ворвались в город, но им пришлось ещё выдержать долгий и упорный бой на улицах. Последним рубежом обороны стала главная мечеть Казани, но в итоге она также пала.
С покорением Казанского ханства исчезла опасность набегов, по крайней мере, с этой стороны. Кроме того, Российского государство получало ещё один участок важного и прибыльного торгового пути по Волге. Казань была разорена. Её заселяли вновь не только окрестные жители, но и переселенцы из России. Они вместе быстро отстроили город. Там не притесняли татар. Их не облагали слишком большими налогами и, главное, не крестили насильно – ислам в Казани дожил до наших дней.
Спартак разбивая армию за армией продвигался к Альпам, перейдя которые, рабы надеялись получить полную свободу. Он продвигался вдоль Адриатического моря. Вскоре вступил в Предальпийскую Галлию, перед рабами лежали Альпы. Но они поворачивают назад, что хорошо видно на карте. Причины этого решения Спартака неизвестны. Рабы подошли фактически тем же путем к южному побережью Италии. Они попытались договориться с пиратами и переправиться на Сицилию. Что им так и не удалось. На них надвигались три римские армии, окружая армию рабов.
