Пусть B — данная точка и α — данная плоскость. Проведем через точку В плоскость β, параллельную плоскости α.
Пусть b произвольная прямая, проходящая через точку B, параллельно α. Возьмем в плоскости α произвольную точку А и проведем через точку А и прямую b плоскость γ Тогда плоскость γ пересекает плоскости α и β по параллельным прямым а1 и b1, но прямая b1 проходит через точку В, а прямая b тоже лежит в плоскости γ, и проходит через точку В и по теореме 17.3 (обратной) параллельна прямой а1. Тогда по аксиоме прямые b и b1 должны совпадать, поэтому прямая b лежит в плоскости в, что и требовалось доказать.
Допустим некоторая плоскость α параллельна прямым АВ и CD.
Согласно утверждению: если плоскость β проходит через прямую а, параллельную другой плоскости α, и пересекает эту плоскость по второй прямой b, то прямые а и b параллельны. Из параллельности прямой АВ и плоскости α следует, что плоскости
определенные тремя точками АВС и ABD пересекают плоскость α по прямым а и b, параллельным прямой АВ. Из теоремы 17.2 следует, что прямые а и b параллельны.
Из параллельности прямой CD и плоскости α следует, что плоскости ACD и BCD пересекают плоскость α прямым с и d параллельным прямой CD, а, значит, cd. Каждая из точек пересечения плоскости α с прямыми АС, AD, BD, ВС лежат в плоскости α и является точкой пересечения каких-то двух не параллельных из прямых а, b, c, d. Например, точка пересечения прямой АС с плоскостью α принадлежит плоскостям АВС и ACD, а значит является точкой пересечения прямых b и с, где b и с — прямые пересечения плоскости α с плоскостями АВС и ACD соответственно.
Так как прямые а и b, с и d попарно параллельны, то построенная по условию задачи фигура есть параллелограмм. Что и требовалось доказать.
Пусть b произвольная прямая, проходящая через точку B, параллельно α. Возьмем в плоскости α произвольную точку А и проведем через точку А и прямую b плоскость γ Тогда плоскость γ пересекает плоскости α и β по параллельным прямым а1 и b1, но прямая b1 проходит через точку В, а прямая b тоже лежит в плоскости γ, и проходит через точку В и по теореме 17.3 (обратной) параллельна прямой а1. Тогда по аксиоме прямые b и b1 должны совпадать, поэтому прямая b лежит в плоскости в, что и требовалось доказать.