Question

С какого расстояния космонавт увидит Землю такого же углового размера, какой имеет Луна, наблюдаемая с Земли (ρз = ρл). Принять расстояние между Землей и Луной Dз =3,8∙105 км, радиус Луны rл = 1,7∙103км, радиус Земли Rз =6,4∙103км.

Answer 1

Для решения данной задачи можно использовать геометрические свойства треугольника и основные принципы оптики.

Для начала, нам необходимо найти угловой размер Луны, который можно наблюдать с Земли.

Для этого воспользуемся формулой для углового размера объекта находящегося на расстоянии R от наблюдателя:

α = 2 ∙ arctg (r/R)

где α - угловой размер объекта, r - радиус объекта, R - расстояние от наблюдателя до объекта.

Подставим известные значения и вычислим угловой размер Луны:

αл = 2 ∙ arctg (1,7∙10^3 / 6,4∙10^3)

Далее, нам нужно найти расстояние от космонавта до Земли, при котором угловой размер Земли будет равен угловому размеру Луны (ρз = ρл).

Для этого воспользуемся формулой для углового размера объекта находящегося на расстоянии ρ от наблюдателя:

α = 2 ∙ arctg (R/ρ)

где α - угловой размер объекта, R - радиус объекта, ρ - расстояние от наблюдателя до объекта.

Подставим известные значения (Rз = 6,4∙10^3км, αл - угловой размер Луны) и получим:

αл = 2 ∙ arctg (6,4∙10^3 / ρз)

Таким образом, у нас есть два уравнения:

αл = 2 ∙ arctg (1,7∙10^3 / 6,4∙10^3)

αл = 2 ∙ arctg (6,4∙10^3 / ρз)

Их можно приравнять и найти значение расстояния ρ:

2 ∙ arctg (1,7∙10^3 / 6,4∙10^3) = 2 ∙ arctg (6,4∙10^3 / ρз)

Упростим уравнение, разделив обе части на 2:

arctg (1,7∙10^3 / 6,4∙10^3) = arctg (6,4∙10^3 / ρз)

Так как функция арктангенс является монотонно возрастающей функцией, то арктангенс от двух равных x будет равен x:

1,7∙10^3 / 6,4∙10^3 = 6,4∙10^3 / ρз

Переставим члены уравнения:

(1,7∙10^3)∙(ρз) = (6,4∙10^3)∙(6,4∙10^3)

Разделим обе части уравнения на (1,7∙10^3):

ρз = (6,4∙10^3)∙(6,4∙10^3) / (1,7∙10^3)

Подсчитаем на калькуляторе:

ρз ≈ 2,39∙10^4 км

Итак, чтобы увидеть Землю такого же углового размера, как Луну видно с Земли, космонавту нужно находиться на расстоянии около 2,39∙10^4 км от Земли.