Question

В параллелограмме ABCD точки M и N середины сторон BC и CD, вектор AB = вектору a, вектор AD= вектору b. a) Выразите векторы AN и DM через векторы a и b.
б) Докажите что векторы DB и MN коллинеарны. ​

Answer 1

Добрый день! Давайте рассмотрим поставленные вопросы по порядку.

а) Чтобы выразить векторы AN и DM через векторы a и b, мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма ABCD. В параллелограмме диагонали делят друг друга пополам. Используя это свойство, мы можем сказать, что вектор AN равен полусумме векторов AB и AD, а вектор DM равен полусумме векторов DC и DB.

То есть, мы имеем:
AN = (1/2)*(AB + AD)
DM = (1/2)*(DC + DB)

Так как в задаче указаны векторы AB и AD, мы можем их использовать для подстановки в формулы:
AN = (1/2)*(a + b)
DM = (1/2)*(DC + DB)

б) Чтобы доказать, что векторы DB и MN коллинеарны, мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма ABCD и векторными свойствами векторов.

Так как точки M и N являются серединами сторон BC и CD соответственно, мы можем сказать, что вектор MN равен полусумме векторов MC и ND.

Используя свойство серединного перпендикуляра, который говорит нам, что диагонали параллелограмма векторно равны, мы можем сказать, что вектор MC равен вектору BA, а вектор ND равен вектору AD.

То есть, мы имеем:
MN = (1/2)*(MC + ND)

Подставляя значения:
MN = (1/2)*(BA + AD)

Теперь мы знаем, что вектор AB равен вектору a, поэтому мы можем заменить его:
MN = (1/2)*(a + AD)

И также у нас есть вектор AD, равный вектору b, и мы можем его заменить:
MN = (1/2)*(a + b)

Таким образом, мы доказали, что векторы MN и DB коллинеарны, так как они представляют собой одинаковую комбинацию векторов a и b.

Надеюсь, что объяснение было понятным и подробным. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.