Доказательство:
Пусть дано ΔАВС i ΔА 1 В 1 С 1 по условию ∟A = ∟A 1 ,
AK i А 1 К 1 - биссектрисы углов А и А 1 соответственно, AK = А 1 К 1 , ∟AKB = ∟A 1 K 1 B 1 .
Докажем, что ΔАВС = Δ А 1 В 1 С 1 .
Рассмотрим ΔАВК i ΔА 1 В 1 К 1 .
1) АК = А 1 К 1 (по условию)
2) ∟AKB = ∟А 1 К 1 В 1 (по условию)
3) ∟ВАК = ∟B 1 A 1 K 1 (половины равных углов).
Итак, ΔАВК = ΔА 1 В 1 К 1 за II признаку.
Рассмотрим ΔАВС i Δ А 1 В 1 С 1 .
1) АВ = А 1 В 1 (т. К. ΔАВК = ΔA 1 В 1 K 1 )
2) ∟BAC = ∟B 1 A 1 C 1 (по условию)
3) ∟ABC = ∟ А 1 В 1 С 1 (т. К. ΔАВК = ΔА 1 В 1 К 1 ).
Итак, ΔАВС = Δ А 1 В 1 С 1 по II признаку.
Дано ΔАВС я ΔА 1 В 1 С 1 за умовою АС = A 1 C 1 .
∟BAC = ∟B 1 1 C 1 , I A АН 1 H 1 - бісектриси кутів ВАС I B 1 1 C 1
відповідно, за умовою АН = А 1 Н 1 .
Доведемо, що ΔАВС = Д А 1 В 1 С 1 .
Розглянемо ΔАНС я ΔА 1 Н 1 С 1 .
1) = А АС 1 С 1 (за умовою);
2) = А АН 1 Н 1 (за умовою);
3) ∟НАС = ∟H 1 1 C 1 (як половини рівних кутів).
Отже, ΔАНС = ΔA 1 H 1 C 1 за I ознакою.
Розглянемо ΔАВС я Д А 1 В 1 С 1 .
1) AC = A 1 C 1 (за умовою);
2) ∟ВАС = ∟В 1 А 1 С 1 (за умовою);
3) ∟НСА = ∟Н 1 С 1 А 1 (т. Я. ΔАНС = ΔА 1 Н 1 С 1 ).
Отже, ΔАВС = Д А 1 В 1 С 1 , за II ознакою.
Пусть дано ΔАВС i ΔА 1 В 1 С 1 по условию ∟A = ∟A 1 ,
AK i А 1 К 1 - биссектрисы углов А и А 1 соответственно, AK = А 1 К 1 , ∟AKB = ∟A 1 K 1 B 1 .
Докажем, что ΔАВС = Δ А 1 В 1 С 1 .
Рассмотрим ΔАВК i ΔА 1 В 1 К 1 .
1) АК = А 1 К 1 (по условию)
2) ∟AKB = ∟А 1 К 1 В 1 (по условию)
3) ∟ВАК = ∟B 1 A 1 K 1 (половины равных углов).
Итак, ΔАВК = ΔА 1 В 1 К 1 за II признаку.
Рассмотрим ΔАВС i Δ А 1 В 1 С 1 .
1) АВ = А 1 В 1 (т. К. ΔАВК = ΔA 1 В 1 K 1 )
2) ∟BAC = ∟B 1 A 1 C 1 (по условию)
3) ∟ABC = ∟ А 1 В 1 С 1 (т. К. ΔАВК = ΔА 1 В 1 К 1 ).
Итак, ΔАВС = Δ А 1 В 1 С 1 по II признаку.