Определите массу карликовой планеты Эрида (в массах Земли) путем сравнения системы Эрида—Дисномия с системой Земля—Луна, если известно, что Дисномия отстоит от Эриды на расстоянии 37,4 тыс. км и обращается с периодом Т = 15,8 суток. Массы Луны и Дисномии считайте пренебрежимо малыми по сравнению с массами планет. Расстояние от Земли до Луны принять равнм 384 тыс км, а период ее обращения 27,3 суток. ответ округлите до десятитысячных.
F = G * (m1 * m2) / r^2,
где F - гравитационная сила, G - гравитационная постоянная, m1 и m2 - массы двух тел, r - расстояние между ними.
Начнем с системы Земля—Луна.
Мы знаем, что период обращения Луны вокруг Земли составляет 27,3 суток, или 27,3 * 24 = 655,2 часа.
Зная период обращения и расстояние между Землей и Луной, мы можем найти угловую скорость Луны:
ω = 2π / T = 2π / 655,2 = 0,00957 рад/ч.
Теперь мы можем найти линейную скорость Луны, используя формулу:
v = ω * r,
где r - расстояние от Земли до Луны, равное 384 тыс. км.
v = 0,00957 * 384 = 3,677 км/ч.
Теперь рассмотрим систему Эрида—Дисномия. Из условия задачи нам дано, что Дисномия отстоит от Эриды на расстояние 37,4 тыс. км. Теперь найдем период обращения Дисномии:
T = 15,8 суток = 15,8 * 24 = 379,2 часа.
Аналогично, найдем угловую скорость Дисномии:
ω = 2π / T = 2π / 379,2 = 0,0166 рад/ч.
После этого найдем линейную скорость Дисномии:
v = ω * r,
где r - расстояние от Эриды до Дисномии, равное 37,4 тыс. км.
v = 0,0166 * 37,4 = 0,6206 км/ч.
Теперь применим закон всемирного тяготения к системе Земля—Луна:
F = G * (m_earth * m_moon) / r^2,
где m_earth - масса Земли, m_moon - масса Луны, r - расстояние от Земли до Луны.
Аналогично, для системы Эрида—Дисномия:
F = G * (m_erida * m_disnomia) / r^2,
где m_erida - масса Эриды, m_disnomia - масса Дисномии, r - расстояние от Эриды до Дисномии.
Так как у нас есть две системы, можно сравнить их гравитационные силы:
G * (m_earth * m_moon) / r^2 = G * (m_erida * m_disnomia) / r^2.
Массы Луны и Дисномии считаются пренебрежимо малыми по сравнению с массами планет, поэтому:
m_earth * m_moon = m_erida * m_disnomia.
Теперь найдем отношение масс Эриды и Земли:
m_erida / m_earth = m_moon / m_disnomia.
Зная, что m_moon / m_disnomia = v_moon / v_disnomia, мы можем выразить отношение масс:
m_erida / m_earth = v_moon / v_disnomia = 3,677 / 0,6206 ≈ 5,92.
Таким образом, масса карликовой планеты Эрида (в массах Земли) составляет примерно 5,92 масс Земли.