Случайная величина X распределена по экспоненциальному закону с математическим
ожиданием F(X) = 6.2, а ү - случайная
величина, распределенная по геометрическому
законус математическим ожиданием
Е(Y) = 4.8. При этом коэффициент
корреляции составляет р(X,Y) = 0.5.
Найдите ковариацию Cov(X,Y),
математическое ожидание E( —4XY – 7) и
дисперсию Var(3X – 3Y — 63).
1. Найдем ковариацию Cov(X,Y).
Ковариация между случайными величинами X и Y определяется формулой:
Cov(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))].
В нашем случае, мы знаем, что E(X) = 6.2 и E(Y) = 4.8.
Также, нам дано значение коэффициента корреляции r(X,Y) = 0.5. Коэффициент корреляции связывает ковариацию и стандартные отклонения случайных величин:
r(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ(X) * σ(Y)),
где σ(X) и σ(Y) - стандартные отклонения X и Y соответственно.
Мы можем выразить ковариацию через стандартные отклонения и коэффициент корреляции:
Cov(X,Y) = r(X,Y) * (σ(X) * σ(Y)).
Из формулы для коэффициента корреляции мы можем найти σ(X) и σ(Y):
r(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ(X) * σ(Y)),
σ(X) * σ(Y) = Cov(X,Y) / r(X,Y).
Итак, мы знаем, что Cov(X,Y) = r(X,Y) * (σ(X) * σ(Y)) = 0.5 * (σ(X) * σ(Y)).
2. Найдем математическое ожидание E(-4XY - 7).
Математическое ожидание линейной комбинации случайных величин определяется формулой:
E(aX + bY + c) = a * E(X) + b * E(Y) + c,
где a, b, c - константы.
В нашем случае, a = -4, b = 0, c = -7.
E(-4XY - 7) = -4 * E(XY) - 7.
3. Найдем дисперсию Var(3X - 3Y - 63).
Дисперсия линейной комбинации случайных величин также может быть найдена с использованием формулы:
Var(aX + bY + c) = a^2 * Var(X) + b^2 * Var(Y) + 2ab * Cov(X,Y),
где a, b, c - константы.
В нашем случае, a = 3, b = -3, c = -63.
Var(3X - 3Y - 63) = 3^2 * Var(X) + (-3)^2 * Var(Y) + 2 * 3 * -3 * Cov(X,Y).
Итак, мы можем найти ковариацию Cov(X,Y), математическое ожидание E(-4XY - 7) и дисперсию Var(3X - 3Y - 63) с использованием формул, представленных выше.