Question

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Answer 1

$y=2xe^{-\frac{x}{2} }$

Объяснение:

4y" + 4y' + y = 0,   y(0) = 0, y'(0) = 2

Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Запишем характеристическое уравнение  

4k² + 4k + 1 = 0

      (2k + 1)² = 0

k₁ = k₂ = -0,5

поэтому общее решение дифференциального уравнения выражается формулой

$y=(C_1+C_2\cdot x)e^{-\frac{x}{2} }$

Подставим начальные условия и найдем константы С₁ и С₂    

y(0) = 0

$y(0)=(C_1+C_2\cdot 0)e^{-\frac{0}{2} }=C_1\Rightarrow C_1=0$

Поэтому С₁ =0

y'(0) = 2

Найдем производную функции

$y'=C_2\cdot e^{-\frac{x}{2} }+(C_1+C_2\cdot x)\cdot(-\frac{1}{2})\cdot e^{-\frac{x}{2} }$

$y'(0)=C_2\cdot e^{-\frac{0}{2} }-(0+C_2\cdot 0)\cdot\frac{1}{2}\cdot e^{-\frac{0}{2} }=C_2\Rightarrow C_2=2$

Запишем частное решение уравнения

$y=2xe^{-\frac{x}{2} }$