Решение:
Докажем от противного, что получить звание мастера могли не более 7 участников турнира. Пусть их было 8. Тогда каждый набрал не менее 0,7*11=7,7 очка, то есть не менее 8 очков. Таким образом, все они в сумме набрали не менее 8*8=64 очков. При этом в партиях с участниками, не получившими звание мастера, каждый из них набрал не более 4 очков (даже если выиграл все партии). Это даёт не более 4*8 = 32 очков.
Значит, участники, ставшие мастерами, должны были набрать в партиях между собой не менее 32 очков.
Подсчитаем, сколько партий сыграли между собой эти 8 мастеров. Если мы будем результаты партий записывать в таблицу 8*8, то у нас останется свободной диагональ (так как партий с самим собой не играется) и на каждую партию будет выделено по две клетки: в строке одного из игроков и в строке другого. Таким образом, партий будет (8*8-8)/2=28. В каждой партии разыгрывается одно очко, поэтому в этих партиях мастера в сумме наберут ровно 28 очков, что меньше 32. Противоречие.
Если же звание мастера получили 9 или более участников, то они должны были набрать не менее 72 очков, в то время как всего в турнире разыгрывалось (12*11)/2=66 очков. Теперь приведём пример турнира, в котором звание мастера получили 7 участников. Пусть первые 7 (по списку) участников всегда выигрывали у последних 5, а все остальные партии завершились вничью. Тогда первые 7 участников набрали по 1*5+0,5*6=8 очков, а последние 5 - по 0*7+0,5*4=2 очка
Если 10 партий наберут ровно по 5% голосов, а две, включая Партию любителей математики, - по 25%, то представители Партии любителей математики получат ровно 50 мест в парламенте. Докажем, что большее число мест Партия любителей математики получить не может. Составим равенство: 100*P/P+ = 100* P/(S-P-)
где S – число всех избирателей,
РПЛМ – число проголосовавших за Партию любителей математики,
Р+ - число проголосовавших за партии, вошедшие в парламент,
Р- - число проголосовавших за партии, не вошедшие в парламент.
Из равенства видно, что наибольшее число мест Партия любителей математики получит в том случае, если количество голосов за непрошедшие в парламент партии, максимально. Если бы в парламент не прошли 11 партий, они вместе набрали бы не более 55% голосов, но 55%+25% < 100%. Значит, не прошли в парламент максимум 10 партий, и они набрали в сумме не более 50% голосов. Поэтому Партия любителей математики получит в парламенте не более 50 мест.
Ответ: 50 мест.
Докажем от противного, что получить звание мастера могли не более 7 участников турнира. Пусть их было 8. Тогда каждый набрал не менее 0,7*11=7,7 очка, то есть не менее 8 очков. Таким образом, все они в сумме набрали не менее 8*8=64 очков. При этом в партиях с участниками, не получившими звание мастера, каждый из них набрал не более 4 очков (даже если выиграл все партии). Это даёт не более 4*8 = 32 очков.
Значит, участники, ставшие мастерами, должны были набрать в партиях между собой не менее 32 очков.
Подсчитаем, сколько партий сыграли между собой эти 8 мастеров. Если мы будем результаты партий записывать в таблицу 8*8, то у нас останется свободной диагональ (так как партий с самим собой не играется) и на каждую партию будет выделено по две клетки: в строке одного из игроков и в строке другого. Таким образом, партий будет (8*8-8)/2=28. В каждой партии разыгрывается одно очко, поэтому в этих партиях мастера в сумме наберут ровно 28 очков, что меньше 32. Противоречие.
Если же звание мастера получили 9 или более участников, то они должны были набрать не менее 72 очков, в то время как всего в турнире разыгрывалось (12*11)/2=66 очков. Теперь приведём пример турнира, в котором звание мастера получили 7 участников. Пусть первые 7 (по списку) участников всегда выигрывали у последних 5, а все остальные партии завершились вничью. Тогда первые 7 участников набрали по 1*5+0,5*6=8 очков, а последние 5 - по 0*7+0,5*4=2 очка