Задача 1 Площадь равнобедренного треугольника равна S, а противолежащий основанию угол между медианами равен 90°. Найдите длину основания треугольника. Назовем данный треугольник АВС, а точку пересечения медиан из А и С - буквой О. Опустим из вершины В медиану ВН на АС. Т.к. треугольник равнобедренный, ВН еще и высота треугольника и перпендикулярна АС. АН=НС. Треугольник АОС - прямоугольный и равнобедренный, т.к. треугольники АОН и СОН равны. ОН=АН=СН. Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.ВО:ОН=2:1.Тогда ВН=3 ОН. Но ОН=АС/2 Высота ВН=3АС/2 S=h*a:2 а=АС h=BН=3АС/2=3а/2 S=(3а/2)*а:2 S=3а²/4 а²=4S/3 а=√(4S/3)=2√(S/3 )------------------------- Задача 2. Прямая, перпендикулярная диаметру MN полукруга с радиусом 6, пересекает этот диаметр в точке К, (МК:КN=2:10), а дугу полуокружности в точке L. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков LK, KN и дуги LN. ------------------ Соединим L, M и N. Треугольник LMN - прямоугольный, т.к. угол МLN опирается на диаметр. LК в нем - высота и, по свойству высоты прямоугольного треугольника из прямого угла к гипотенузе, является средней пропорциональной отрезков МК и КN гипотенузы (диаметра) MN. MN=2r=6*2=12. Тогда МК=2, КN=10 LK²=MK*KN-2*10=20 LK=√20=2√5 Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе. Биссектриса угла LKN делит прямой угол LKN на два по 45° Пусть точка касания окружности с КN будет Е, а со второй касательной из N - Т. Тогда по свойству касательных из одной точки ЕN= NT, а NL - биссектриса угла KNT. Точка О пересечения биссектрис углов KNТ и LKN - центр вписанной окружности. Расстояния от любой точки биссектрисы до сторон угла, в котором она проведена, равны. ОЕ⊥KN. ОТ⊥NT ОЕ=ОТ=r Угол KTN=90° Так как угол ТКN равен 45°, прямоугольный треугольник KTN- равнобедренный. ТН ⊥ MN - высота, биссектриса и медиана равнобедренного ⊿ KTN ⇒ по свойству медианы прямоугольного треугольника КН=НN=ТН=10:2=5 КТ =КН:(cos 45°)=5:(√2)/2=5√2 Рассмотрим треугольники КТН и KОE. Они прямоугольные, имеют общий угол при К ⇒ они подобны. КТ:KО=TH:OE ОЕ=ОТ=r KO= КТ-ОТ=5√2-r 5√2:(5√2-r)=5:r Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. 5√2 r=5*(5√2-r) Сократим на 5: √2 r=5√2 -r √2 r+r=5√2 r*(√2 +1)=5√2 ...Домножим числитель и знаменатель в правой половине уравнения на (√2-1) r= 5√2: (√2+1)= 5√2*(√2-1):(2-1)=5*(2-√2)=≈2,93
Трагикомедия Грибоедова «Горе от ума» играет значимую роль в истории литературы. При уникальном сочетании затухающего классицизма и появлении новых художественных методов, в написании комедии Грибоедов объединил злободневный реализм и классический романтизм.
Отсюда и проявилась та зависимость героев от времени написания и столько необычного на тот момент сочетания жанров. Если ранее писатели предпочитали делить персонажей на черное и белое, то теперь допускается смещение этих границ. В частности Грибоедов позволил себе наделить героев и положительными чертами характера, и отрицательными. Наиболее ярко это выразилось в главном образе пьесы – Александре Чацком.
Вспомним его предысторию. До начала событий пьесы Александр почти три года путешествует в поисках себя и своего предназначения, как он это называет: «Ума искать». Благодаря поездке он становится приверженцем передовых взглядов на общество и общий уклад жизни.
По возвращении на Родину герой отправляется к Фамусову, чтобы скорее увидеть дочь старинного друга. Много лет назад они росли вместе. Встретившись с Софьей, Чацкий с удивлением обнаруживает, что чувства к девушке давно остыли, а новость о ее привязанности к другому человеку воспринимается им неоднозначно, вызывая внутренний конфликт чувств и стремлений. Особенно его задевает тот факт, что Молчалин куда глупее его. Но тем не менее эта ситуация вызывает столкновение между Чацким и домом Фамусова. Литературоведы обозначают его, как борьбу людей с передовыми взглядами и чинопоклонниками.
Со слов Софьи мы можем еще до приезда молодого человека составить его портрет. «Чувствителен, и весел, и остер» - говорит девушка, при разговоре о мудрости и уме со своей служанкой, вспоминая именно Чацкого. А это выгодно отличает его от других персонажей.
КнигаВ книгах всегда прослеживается развитие героя, особенно на фоне конфликтов интересов и мировоззрений персонажей. В данной ситуации читатель понимает всю неоднозначность и противоречивость характера Чацкого, столкнувшегося с враждебным отношением к его идеям и убеждениям. Ему приходится защищать их в своих монологах с закостенелыми приверженцами традиций аристократии. Даже в общении с близкими и друзьями, поддерживающими дворян, он использует язвительную манеру с некой долей сарказма, специально высмеивая их ошибочные суждения. При встрече с Софьей он спрашивает: «Ваш дядюшка отпрыгал ли свой век?». Также остальные персонажи нередко укоряют Чацкого в бестактности, вспыльчивости и страсти к высмеиванию чужих пороков. Особенно это проявляется в общении с девушкой.
Конечно, читатель вправе оправдывать поведение Чацкого тем, что тот возмущается безнравственностью своего сословия, стремясь хотя бы таким образом передать им свое «истинное знание». Он ставит перед собой цель – побороть невежество дворян, а не обидеть кого-то отдельного из них. Учитывая то, что герой с детства воспитывался в этих традициях, ему сложно полностью изменить самого себя и пойти против сословия, а потому у него «ум с сердцем не в ладу». Он просто не может удержаться от очередной колкости в адрес фамусовского общества или язвительного замечания по поводу рассказа об очередном уважаемом феодале, готовом кланяться до земли перед очередным правителем.
Для Чацкого характерна любовь к правому целедостижению с помощью своих способностей, а не денег. Он готов тяжело работать ради благой цели, но никогда не станет этого делать в угоду интересам влиятельных людей. Чацкий демонстративно заявляет в очередном споре с аристократами: «Служить бы рад, прислуживаться тошно». А ведь по рассказам современников, таких же взглядов придерживался и сам Грибоедов. В молодом человеке мгновенно пробуждается гнев и даже ненависть при виде отношения общества к обездоленным и нищим, а также к столь «противной» ему выслуге перед высокопоставленными чинами. Для него аристократия не более, чем склонная к мотовству, лени и чинолюбию общность, старающаяся во всем подражать западу, но не самым лучшим их достижениям.
В своем монологе Чацкий укоряет боязнь аристократии и высоких чином перед лицом обычного человека, готового посвятить себя всецело науке и самопознанию, считая его безумцем и даже бунтарем. Аристократы будто боятся, что привычный для них строй вскоре будет свергнуть, а потому удерживают его с помощью отрицания новых идей. Они даже для продвижения по службе пользуются не собственными способностями, а стараются заводить полезные знакомства на балах и частных встречах. В то время, как Александр разделяет понятия отдыха и развлечений с работой. Он негативно воспринимает лицемерие перед лицом «нужного человека», не стесняясь открыто заявлять об этом в лица свои оппонентам.
ЧеловекСамого Чацкого тяготит «темность» их взглядов и враждебность по отношению к новаторским идеям, что приводит к «отрезвлению» его мыслей: Чацкий решает, что его пути с консервативной аристократией давно разошлись. В этом и заключается драматизм комедии: Чацкий остается в одиночестве в своих убеждениях и вынужден покинуть Москву. Но, к его чести, он не оставляет своих взглядов. Просто время для них еще не пришло.
Не секрет, что образ и характер Александра Чацкого отражает взгляды самого Грибоедова, не принимающего преклонения русских перед «иностранщиной». Он высмеивает учителей-иностранцев и использование даже в бытовых ситуациях иностранной речи в словах главного героя. Критиками образ молодого человека, приверженца новых идей, воспринимался так же неоднозначно, как и совмещение классицизма с новаторскими литературными жанрами. Однако, все убедились в идее автора о том, что несмотря на сложность укрепления новых идей в столь консервативном обществе, вскоре придет время, когда новаторство свергнет все пороки аристократии. Ведь уже тогда многие молодые люди начинают стремиться к знаниям, развитию науки, расширению экономики и использованию европейских идей об оплаченной работе, а не рабском отношении к крестьянам.
Трагикомедия Грибоедова «Горе от ума» играет значимую роль в истории литературы. При уникальном сочетании затухающего классицизма и появлении новых художественных методов, в написании комедии Грибоедов объединил злободневный реализм и классический романтизм.
Отсюда и проявилась та зависимость героев от времени написания и столько необычного на тот момент сочетания жанров. Если ранее писатели предпочитали делить персонажей на черное и белое, то теперь допускается смещение этих границ. В частности Грибоедов позволил себе наделить героев и положительными чертами характера, и отрицательными. Наиболее ярко это выразилось в главном образе пьесы – Александре Чацком.
Вспомним его предысторию. До начала событий пьесы Александр почти три года путешествует в поисках себя и своего предназначения, как он это называет: «Ума искать». Благодаря поездке он становится приверженцем передовых взглядов на общество и общий уклад жизни.
По возвращении на Родину герой отправляется к Фамусову, чтобы скорее увидеть дочь старинного друга. Много лет назад они росли вместе. Встретившись с Софьей, Чацкий с удивлением обнаруживает, что чувства к девушке давно остыли, а новость о ее привязанности к другому человеку воспринимается им неоднозначно, вызывая внутренний конфликт чувств и стремлений. Особенно его задевает тот факт, что Молчалин куда глупее его. Но тем не менее эта ситуация вызывает столкновение между Чацким и домом Фамусова. Литературоведы обозначают его, как борьбу людей с передовыми взглядами и чинопоклонниками.
Со слов Софьи мы можем еще до приезда молодого человека составить его портрет. «Чувствителен, и весел, и остер» - говорит девушка, при разговоре о мудрости и уме со своей служанкой, вспоминая именно Чацкого. А это выгодно отличает его от других персонажей.
КнигаВ книгах всегда прослеживается развитие героя, особенно на фоне конфликтов интересов и мировоззрений персонажей. В данной ситуации читатель понимает всю неоднозначность и противоречивость характера Чацкого, столкнувшегося с враждебным отношением к его идеям и убеждениям. Ему приходится защищать их в своих монологах с закостенелыми приверженцами традиций аристократии. Даже в общении с близкими и друзьями, поддерживающими дворян, он использует язвительную манеру с некой долей сарказма, специально высмеивая их ошибочные суждения. При встрече с Софьей он спрашивает: «Ваш дядюшка отпрыгал ли свой век?». Также остальные персонажи нередко укоряют Чацкого в бестактности, вспыльчивости и страсти к высмеиванию чужих пороков. Особенно это проявляется в общении с девушкой.
Конечно, читатель вправе оправдывать поведение Чацкого тем, что тот возмущается безнравственностью своего сословия, стремясь хотя бы таким образом передать им свое «истинное знание». Он ставит перед собой цель – побороть невежество дворян, а не обидеть кого-то отдельного из них. Учитывая то, что герой с детства воспитывался в этих традициях, ему сложно полностью изменить самого себя и пойти против сословия, а потому у него «ум с сердцем не в ладу». Он просто не может удержаться от очередной колкости в адрес фамусовского общества или язвительного замечания по поводу рассказа об очередном уважаемом феодале, готовом кланяться до земли перед очередным правителем.
Для Чацкого характерна любовь к правому целедостижению с помощью своих способностей, а не денег. Он готов тяжело работать ради благой цели, но никогда не станет этого делать в угоду интересам влиятельных людей. Чацкий демонстративно заявляет в очередном споре с аристократами: «Служить бы рад, прислуживаться тошно». А ведь по рассказам современников, таких же взглядов придерживался и сам Грибоедов. В молодом человеке мгновенно пробуждается гнев и даже ненависть при виде отношения общества к обездоленным и нищим, а также к столь «противной» ему выслуге перед высокопоставленными чинами. Для него аристократия не более, чем склонная к мотовству, лени и чинолюбию общность, старающаяся во всем подражать западу, но не самым лучшим их достижениям.
В своем монологе Чацкий укоряет боязнь аристократии и высоких чином перед лицом обычного человека, готового посвятить себя всецело науке и самопознанию, считая его безумцем и даже бунтарем. Аристократы будто боятся, что привычный для них строй вскоре будет свергнуть, а потому удерживают его с помощью отрицания новых идей. Они даже для продвижения по службе пользуются не собственными способностями, а стараются заводить полезные знакомства на балах и частных встречах. В то время, как Александр разделяет понятия отдыха и развлечений с работой. Он негативно воспринимает лицемерие перед лицом «нужного человека», не стесняясь открыто заявлять об этом в лица свои оппонентам.
ЧеловекСамого Чацкого тяготит «темность» их взглядов и враждебность по отношению к новаторским идеям, что приводит к «отрезвлению» его мыслей: Чацкий решает, что его пути с консервативной аристократией давно разошлись. В этом и заключается драматизм комедии: Чацкий остается в одиночестве в своих убеждениях и вынужден покинуть Москву. Но, к его чести, он не оставляет своих взглядов. Просто время для них еще не пришло.
Не секрет, что образ и характер Александра Чацкого отражает взгляды самого Грибоедова, не принимающего преклонения русских перед «иностранщиной». Он высмеивает учителей-иностранцев и использование даже в бытовых ситуациях иностранной речи в словах главного героя. Критиками образ молодого человека, приверженца новых идей, воспринимался так же неоднозначно, как и совмещение классицизма с новаторскими литературными жанрами. Однако, все убедились в идее автора о том, что несмотря на сложность укрепления новых идей в столь консервативном обществе, вскоре придет время, когда новаторство свергнет все пороки аристократии. Ведь уже тогда многие молодые люди начинают стремиться к знаниям, развитию науки, расширению экономики и использованию европейских идей об оплаченной работе, а не рабском отношении к крестьянам.
Площадь равнобедренного треугольника равна S, а противолежащий основанию угол между медианами равен 90°. Найдите длину основания треугольника.
Назовем данный треугольник АВС, а точку пересечения медиан из А и С - буквой О.
Опустим из вершины В медиану ВН на АС.
Т.к. треугольник равнобедренный, ВН еще и высота треугольника и перпендикулярна АС.
АН=НС. Треугольник АОС - прямоугольный и равнобедренный, т.к. треугольники АОН и СОН равны.
ОН=АН=СН. Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.ВО:ОН=2:1.Тогда ВН=3 ОН. Но ОН=АС/2
Высота ВН=3АС/2
S=h*a:2
а=АС
h=BН=3АС/2=3а/2
S=(3а/2)*а:2
S=3а²/4
а²=4S/3
а=√(4S/3)=2√(S/3
)-------------------------
Задача 2.
Прямая, перпендикулярная диаметру MN полукруга с радиусом 6, пересекает этот диаметр в точке К, (МК:КN=2:10), а дугу полуокружности в точке L. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков
LK, KN и дуги LN.
------------------
Соединим L, M и N. Треугольник LMN - прямоугольный, т.к. угол МLN опирается на диаметр.
LК в нем - высота и, по свойству высоты прямоугольного треугольника из прямого угла к гипотенузе, является средней пропорциональной отрезков МК и КN гипотенузы (диаметра) MN.
MN=2r=6*2=12.
Тогда МК=2, КN=10
LK²=MK*KN-2*10=20
LK=√20=2√5
Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе.
Биссектриса угла LKN делит прямой угол LKN на два по 45°
Пусть точка касания окружности с КN будет Е, а со второй касательной из N - Т.
Тогда по свойству касательных из одной точки ЕN= NT,
а NL - биссектриса угла KNT.
Точка О пересечения биссектрис углов KNТ и LKN - центр вписанной окружности. Расстояния от любой точки биссектрисы до сторон угла, в котором она проведена, равны.
ОЕ⊥KN.
ОТ⊥NT
ОЕ=ОТ=r
Угол KTN=90°
Так как угол ТКN равен 45°, прямоугольный треугольник KTN- равнобедренный. ТН ⊥ MN - высота, биссектриса и медиана равнобедренного ⊿ KTN ⇒ по свойству медианы прямоугольного треугольника
КН=НN=ТН=10:2=5
КТ =КН:(cos 45°)=5:(√2)/2=5√2
Рассмотрим треугольники КТН и KОE. Они прямоугольные, имеют общий угол при К ⇒ они подобны.
КТ:KО=TH:OE
ОЕ=ОТ=r
KO= КТ-ОТ=5√2-r
5√2:(5√2-r)=5:r Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
5√2 r=5*(5√2-r) Сократим на 5:
√2 r=5√2 -r
√2 r+r=5√2
r*(√2 +1)=5√2 ...Домножим числитель и знаменатель в правой половине уравнения на (√2-1)
r= 5√2: (√2+1)= 5√2*(√2-1):(2-1)=5*(2-√2)=≈2,93